与えられた置換の積を計算する問題です。具体的には、以下の4つの小問があります。 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ (3) $(1\ 3)(2\ 3)(2\ 4)$ (4) $(1\ 4)(2\ 3)(1\ 2\ 4\ 3)(2\ 3)$

1. 問題の内容

与えられた置換の積を計算する問題です。具体的には、以下の4つの小問があります。

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

(3) $(1\ 3)(2\ 3)(2\ 4)$

(4) $(1\ 4)(2\ 3)(1\ 2\ 4\ 3)(2\ 3)$

2. 解き方の手順

(1)

まず、右側の置換を適用し、その結果に左側の置換を適用します。

1 $\rightarrow$ 3 $\rightarrow$ 2

2 $\rightarrow$ 1 $\rightarrow$ 3

3 $\rightarrow$ 2 $\rightarrow$ 1

したがって、$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$となります。

(2)

右側の置換を適用し、その結果に左側の置換を適用します。

1 $\rightarrow$ 4 $\rightarrow$ 1

2 $\rightarrow$ 3 $\rightarrow$ 2

3 $\rightarrow$ 2 $\rightarrow$ 4

4 $\rightarrow$ 1 $\rightarrow$ 3

したがって、$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix}$となります。

(3)

右から順に置換を適用していきます。

$(2\ 4)$ は 2 $\leftrightarrow$ 4を入れ替えます。

$(2\ 3)$ は 2 $\leftrightarrow$ 3を入れ替えます。

$(1\ 3)$ は 1 $\leftrightarrow$ 3を入れ替えます。

1 $\rightarrow$ 1 $\rightarrow$ 1 $\rightarrow$ 3

2 $\rightarrow$ 2 $\rightarrow$ 3 $\rightarrow$ 3

3 $\rightarrow$ 3 $\rightarrow$ 2 $\rightarrow$ 4

4 $\rightarrow$ 4 $\rightarrow$ 4 $\rightarrow$ 2

したがって、$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ となるので、$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ ではなく、(1 3)(2 4)となります.

(4)

右から順に置換を適用していきます。

$(2\ 3)$ は 2 $\leftrightarrow$ 3を入れ替えます。

$(1\ 2\ 4\ 3)$ は 1 $\rightarrow$ 2, 2 $\rightarrow$ 4, 4 $\rightarrow$ 3, 3 $\rightarrow$ 1とします。

$(2\ 3)$ は 2 $\leftrightarrow$ 3を入れ替えます。

$(1\ 4)$ は 1 $\leftrightarrow$ 4を入れ替えます。

1 $\rightarrow$ 1 $\rightarrow$ 2 $\rightarrow$ 2 $\rightarrow$ 4

2 $\rightarrow$ 3 $\rightarrow$ 4 $\rightarrow$ 1 $\rightarrow$ 1

3 $\rightarrow$ 2 $\rightarrow$ 1 $\rightarrow$ 4 $\rightarrow$ 4

4 $\rightarrow$ 4 $\rightarrow$ 3 $\rightarrow$ 3 $\rightarrow$ 3

したがって、$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}$となるので、(1 4 3)となります.

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix}$

(3) $(1\ 3)(2\ 4)$

(4) $(1\ 4\ 3)$