1から6までの数字が書かれた6枚のカードから4枚を取り出し、P, Q, R, Sとする。 P + Q = R + S かつ 5(P - Q) = R - S である。ただし、P > Qとする。このときPの値を求めよ。

1. 問題の内容

1から6までの数字が書かれた6枚のカードから4枚を取り出し、P, Q, R, Sとする。

P + Q = R + S かつ 5(P - Q) = R - S である。ただし、P > Qとする。このときPの値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件を数式で表します。

$P + Q = R + S$ (1)

$5(P - Q) = R - S$ (2)

(1)と(2)の式を足し合わせると、

$P + Q + 5(P - Q) = R + S + R - S$

$P + Q + 5P - 5Q = 2R$

$6P - 4Q = 2R$

$3P - 2Q = R$ (3)

(1)から(2)の式を引くと、

$P + Q - 5(P - Q) = R + S - (R - S)$

$P + Q - 5P + 5Q = 2S$

$-4P + 6Q = 2S$

$-2P + 3Q = S$ (4)

P, Q, R, Sは1から6の整数なので、(3)と(4)の式に当てはまる値を探索します。

また、P > Qという条件も考慮します。

RとSはそれぞれ1から6の整数なので、

$1 \le 3P - 2Q \le 6$

$1 \le -2P + 3Q \le 6$

$P = 3$のとき、$1 \le 9 - 2Q \le 6$ と $1 \le -6 + 3Q \le 6$

$3 \le 2Q \le 8$ と $7 \le 3Q \le 12$

$1.5 \le Q \le 4$ と $2.33 \le Q \le 4$

よって、$3 \le Q \le 4$を満たす整数Qは、Q = 3または4。

P > Q なので、Q = 3では条件を満たさない。

Q = 4 のとき、R = 3*3 - 2*4 = 1, S = -2*3 + 3*4 = 6。

P = 3, Q = 4, R = 1, S =

6. P > Qを満たさないので、これは違う。

$P = 4$のとき、$1 \le 12 - 2Q \le 6$ と $1 \le -8 + 3Q \le 6$

$6 \le 2Q \le 11$ と $9 \le 3Q \le 14$

$3 \le Q \le 5.5$ と $3 \le Q \le 4.66$

よって、$3 \le Q \le 4$を満たす整数Qは、Q = 3または4。

Q = 3のとき、R = 3*4 - 2*3 = 6, S = -2*4 + 3*3 = 1。

P = 4, Q = 3, R = 6, S = 1。P > Qを満たす。P + Q = 7, R + S = 7。 5(P - Q) = 5(4 - 3) = 5, R - S = 6 - 1 = 5。条件を満たす。

$P = 5$のとき、$1 \le 15 - 2Q \le 6$ と $1 \le -10 + 3Q \le 6$

$9 \le 2Q \le 14$ と $11 \le 3Q \le 16$

$4.5 \le Q \le 7$ と $3.66 \le Q \le 5.33$

よって、$5 \le Q \le 5$を満たす整数Qは、Q = 5。

P > Qを満たさないので、これは違う。

$P = 6$のとき、$1 \le 18 - 2Q \le 6$ と $1 \le -12 + 3Q \le 6$

$12 \le 2Q \le 17$ と $13 \le 3Q \le 18$

$6 \le Q \le 8.5$ と $4.33 \le Q \le 6$

よって、$6 \le Q \le 6$を満たす整数Qは、Q = 6。

P > Qを満たさないので、これは違う。

したがって、P = 4。

3. 最終的な答え

4