$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ の範囲で、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ が与えられたとき、$\sin \theta \cos \theta$ と $\sin \theta - \cos \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ の範囲で、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ が与えられたとき、$\sin \theta \cos \theta$ と $\sin \theta - \cos \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ の両辺を2乗します。

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{1}{2})^2$

$\sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{1}{4}$

三角関数の恒等式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いると、

$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4}$

$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4} - 1$

$2 \sin \theta \cos \theta = - \frac{3}{4}$

$\sin \theta \cos \theta = - \frac{3}{8}$

次に、$(\sin \theta - \cos \theta)^2$ を計算します。

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta$

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) - 2 \sin \theta \cos \theta$

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = 1 - 2(-\frac{3}{8})$

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = 1 + \frac{3}{4}$

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = \frac{7}{4}$

したがって、$\sin \theta - \cos \theta = \pm \sqrt{\frac{7}{4}} = \pm \frac{\sqrt{7}}{2}$ となります。

ここで、$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ の範囲で、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2} > 0$ なので、$\theta$ が鋭角であるとは限りません。例えば、$\theta = 120^\circ$ くらいの角度でも、$\sin \theta$ が正の値をとり、$cos \theta$ が負の値をとるので、足し算の結果が正の値となることもあります。

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\sin \theta > 0$ である必要があります。もし $\sin \theta$ が0以下なら、$\cos \theta$ は $\frac{1}{2}$ より大きくなってしまいます。そうなると、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を満たすことができません。

もし$\sin \theta \geq \cos \theta$ なら、$\sin \theta - \cos \theta \geq 0$ となります。

$\sin \theta - \cos \theta$ の符号を決定します。

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ より、$\sin \theta = \frac{1}{2} - \cos \theta$

このとき、$(\frac{1}{2} - \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{1}{4} - \cos \theta + \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$2 \cos^2 \theta - \cos \theta - \frac{3}{4} = 0$

$8 \cos^2 \theta - 4 \cos \theta - 3 = 0$

$\cos \theta = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(8)(-3)}}{16} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 96}}{16} = \frac{4 \pm \sqrt{112}}{16} = \frac{4 \pm 4 \sqrt{7}}{16} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{4}$

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ なので、$-1 \leq \cos \theta \leq 1$ となります。

$\cos \theta = \frac{1 + \sqrt{7}}{4} > 1$ なので不適です。

$\cos \theta = \frac{1 - \sqrt{7}}{4} < 0$ なので、$\theta$ は鈍角です。

$\sin \theta = \frac{1}{2} - \frac{1 - \sqrt{7}}{4} = \frac{2 - 1 + \sqrt{7}}{4} = \frac{1 + \sqrt{7}}{4}$

$\sin \theta - \cos \theta = \frac{1 + \sqrt{7}}{4} - \frac{1 - \sqrt{7}}{4} = \frac{2 \sqrt{7}}{4} = \frac{\sqrt{7}}{2} > 0$

したがって、$\sin \theta - \cos \theta = \frac{\sqrt{7}}{2}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8}$

$\sin \theta - \cos \theta = \frac{\sqrt{7}}{2}$