$x > 0$ のとき、以下の関数 $f(x)$ の最小値を求めます。 (1) $f(x) = (2x + \frac{27}{x+1} + 2)(x + \frac{6}{x+1} + 1)$ (2) $f(x) = \frac{x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x + 34}{x^2 - x + 3}$

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

**問題 I**

1. **問題の内容**

$x > 0$ のとき、以下の関数 $f(x)$ の最小値を求めます。

(1) $f(x) = (2x + \frac{27}{x+1} + 2)(x + \frac{6}{x+1} + 1)$

(2) $f(x) = \frac{x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x + 34}{x^2 - x + 3}$

2. **解き方の手順**

(1) $f(x) = (2x + \frac{27}{x+1} + 2)(x + \frac{6}{x+1} + 1)$

$t = x+1$ と置くと $x=t-1$ となり、$x > 0$ より $t > 1$

$f(t) = (2(t-1) + \frac{27}{t} + 2)(t-1 + \frac{6}{t} + 1)$

$= (2t + \frac{27}{t}) (t + \frac{6}{t})$

$= 2t^2 + 12 + 27 + \frac{162}{t^2}$

$= 2t^2 + \frac{162}{t^2} + 39$

相加相乗平均の関係より、

$2t^2 + \frac{162}{t^2} \geq 2 \sqrt{2t^2 \cdot \frac{162}{t^2}} = 2 \sqrt{324} = 2 \cdot 18 = 36$

したがって、$f(t) \geq 36 + 39 = 75$

等号成立は $2t^2 = \frac{162}{t^2}$ のとき。つまり $t^4 = 81$ より $t = 3$ ($t>1$ より)

$t = 3$ のとき $x = t-1 = 2 > 0$ なので条件を満たす。

したがって、$f(x)$ の最小値は $75$

(2) $f(x) = \frac{x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x + 34}{x^2 - x + 3}$

分子を分母で割る。

$x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x + 34 = (x^2 - x + 3)(x^2 - x - 2) + 40$

したがって、$f(x) = x^2 - x - 2 + \frac{40}{x^2 - x + 3}$

$g(x) = x^2 - x + 3$ とおくと $g(x) = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{11}{4} \geq \frac{11}{4}$

$f(x) = x^2 - x + 3 + \frac{40}{x^2 - x + 3} - 5$

$= g(x) + \frac{40}{g(x)} - 5$

相加相乗平均の関係より、$g(x) + \frac{40}{g(x)} \geq 2 \sqrt{g(x) \cdot \frac{40}{g(x)}} = 2\sqrt{40} = 4\sqrt{10}$

したがって、$f(x) \geq 4\sqrt{10} - 5$

$f'(x) = 2x - 1 - \frac{40(2x-1)}{(x^2 - x + 3)^2} = (2x-1)(1 - \frac{40}{(x^2 - x + 3)^2})$

$f'(x) = 0$ のとき、$x = \frac{1}{2}$ または $(x^2 - x + 3)^2 = 40$

$x^2 - x + 3 = \pm 2\sqrt{10}$

$x^2 - x + (3 - 2\sqrt{10}) = 0$ のとき $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(3-2\sqrt{10})}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{8\sqrt{10} - 11}}{2}$

$x^2 - x + (3 + 2\sqrt{10}) = 0$ のとき 判別式は $1 - 4(3 + 2\sqrt{10}) < 0$ なので解なし。

$x = \frac{1}{2}$ のとき、$f(x) = \frac{\frac{1}{16} - \frac{2}{8} - \frac{1}{4} + 1 + 34}{\frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 3} = \frac{33.8125}{2.75} = 12.3$

$4\sqrt{10} - 5 \approx 12.649$

3. **最終的な答え**

(1) $75$

(2) $4\sqrt{10} - 5$

**問題 II**

1. **問題の内容**

正の実数 $a, b, c$ に対して、不等式 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}$ を証明し、等号が成り立つための条件を求めます。

2. **解き方の手順**

コーシー・シュワルツの不等式より、

$(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)(y_1^2 + y_2^2 + y_3^2) \geq (x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3)^2$

$x_1 = \frac{1}{\sqrt{a}}, x_2 = \frac{1}{\sqrt{b}}, x_3 = \frac{1}{\sqrt{c}}$

$y_1 = \sqrt{a}, y_2 = \sqrt{b}, y_3 = \sqrt{c}$

とすると、

$(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})(a + b + c) \geq (1 + 1 + 1)^2 = 9$

したがって、$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}$

等号成立は $\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} = \frac{x_3}{y_3}$ のとき。

$\frac{1/ \sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{1/\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{1/\sqrt{c}}{\sqrt{c}}$

$\frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$

つまり $a = b = c$

3. **最終的な答え**

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}$

等号成立条件は $a = b = c$

**問題 発展**

1. **問題の内容**

関数 $f(x) = nx^2 - 2(a_1 + a_2 + ... + a_n)x + (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)$ について、以下のことを証明します。

(1) $n=1$ および $n=2$ のとき、常に $f(x) \geq 0$ であることを示せ。

(2) すべての $n$ に対し、常に $f(x) \geq 0$ であることを示せ。

(3) $(a_1 + a_2 + ... + a_n)^2 \leq n(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)$ であることを示せ。

(4) $(a_1 + a_2 + ... + a_n)^2 = n(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)$ であれば、$a_1, a_2, ..., a_n$ はすべて等しいことを示せ。

2. **解き方の手順**

(1) $n=1$ のとき $f(x) = x^2 - 2a_1 x + a_1^2 = (x - a_1)^2 \geq 0$

$n=2$ のとき $f(x) = 2x^2 - 2(a_1 + a_2)x + (a_1^2 + a_2^2)$

判別式 $D = 4(a_1+a_2)^2 - 8(a_1^2 + a_2^2) = 4(a_1^2 + 2a_1 a_2 + a_2^2) - 8(a_1^2 + a_2^2) = -4(a_1^2 - 2a_1 a_2 + a_2^2) = -4(a_1-a_2)^2 \leq 0$

したがって、$f(x) \geq 0$

(2) $f(x) = nx^2 - 2(a_1 + a_2 + ... + a_n)x + (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)$

判別式 $D = 4(a_1 + a_2 + ... + a_n)^2 - 4n(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)$

$f(x) \geq 0$ を示すには $D \leq 0$ を示せばよい。

(3) $(a_1 + a_2 + ... + a_n)^2 \leq n(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)$ を示す。

コーシー・シュワルツの不等式を用いる。

$(1^2 + 1^2 + ... + 1^2)(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2) \geq (a_1 + a_2 + ... + a_n)^2$

$n(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2) \geq (a_1 + a_2 + ... + a_n)^2$

(4) $(a_1 + a_2 + ... + a_n)^2 = n(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)$ であれば、$a_1, a_2, ..., a_n$ はすべて等しいことを示せ。

コーシー・シュワルツの不等式で等号が成立するのは、$\frac{1}{a_1} = \frac{1}{a_2} = ... = \frac{1}{a_n}$ のとき。

つまり、$a_1 = a_2 = ... = a_n$

3. **最終的な答え**

(1) 証明完了

(2) 上記参照

(3) 証明完了

(4) 証明完了