与えられたベクトル $\vec{a}$ が、ベクトル $\vec{b_1}$ と $\vec{b_2}$ の線形結合で表せるかどうかを調べる。表せる場合は、その線形結合の形を求める。問題は4つある。 (1) $\vec{a} = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\vec{b_1} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}$, $\vec{b_2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ (2) $\vec{a} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\vec{b_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\vec{b_2} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}$ (3) $\vec{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\vec{b_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\vec{b_2} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$ (4) $\vec{a} = \begin{bmatrix} 8 \\ 16 \end{bmatrix}$, $\vec{b_1} = \begin{bmatrix} -3 \\ -6 \end{bmatrix}$, $\vec{b_2} = \begin{bmatrix} 7 \\ 14 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられたベクトル $\vec{a}$ が、ベクトル $\vec{b_1}$ と $\vec{b_2}$ の線形結合で表せるかどうかを調べる。表せる場合は、その線形結合の形を求める。問題は4つある。

(1) $\vec{a} = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\vec{b_1} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}$, $\vec{b_2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

(2) $\vec{a} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\vec{b_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\vec{b_2} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}$

(3) $\vec{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\vec{b_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\vec{b_2} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$

(4) $\vec{a} = \begin{bmatrix} 8 \\ 16 \end{bmatrix}$, $\vec{b_1} = \begin{bmatrix} -3 \\ -6 \end{bmatrix}$, $\vec{b_2} = \begin{bmatrix} 7 \\ 14 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

各問題に対して、$\vec{a} = x_1 \vec{b_1} + x_2 \vec{b_2}$ を満たす $x_1$ と $x_2$ を求める。

(1)

$\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix} = x_1 \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

連立方程式は以下の通り。

$3x_1 + x_2 = -2$

$-x_1 + x_2 = 1$

これを解くと、$x_1 = -\frac{3}{4}, x_2 = \frac{1}{4}$

(2)

$\begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix} = x_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}$

連立方程式は以下の通り。

$x_1 - x_2 = 5$

$0x_1 + 0x_2 = 1$

2つ目の式は $0=1$ となり、矛盾するため、線形結合で表せない。

(3)

$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = x_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$

連立方程式は以下の通り。

$x_1 + 2x_2 = 1$

$3x_1 + 3x_2 = 2$

$0x_1 + x_2 = 1$

3つ目の式より $x_2 = 1$。これを1つ目の式に代入すると $x_1 + 2 = 1$ より $x_1 = -1$。

これらの値を2つ目の式に代入すると $3(-1) + 3(1) = 0 \neq 2$ となり、矛盾するため、線形結合で表せない。

(4)

$\begin{bmatrix} 8 \\ 16 \end{bmatrix} = x_1 \begin{bmatrix} -3 \\ -6 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} 7 \\ 14 \end{bmatrix}$

連立方程式は以下の通り。

$-3x_1 + 7x_2 = 8$

$-6x_1 + 14x_2 = 16$

2つ目の式は1つ目の式の2倍なので、実質的に1つの式しか存在しない。$x_1 = \frac{7x_2 - 8}{3}$

解は無数に存在するが、例えば、$x_2 = 2$とすると、$x_1 = (14-8)/3 = 2$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} = -\frac{3}{4} \vec{b_1} + \frac{1}{4} \vec{b_2}$

(2) 線形結合で表せない

(3) 線形結合で表せない

(4) $\vec{a} = 2\vec{b_1} + 2\vec{b_2}$ (解は無数に存在する)