$f$ を $x$ 軸に関する折り返し、 $g$ を直線 $y=x$ に関する折り返しとする1次変換とする。 (1) $\vec{e_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ に対して、$f(\vec{e_2})$ と $g(\vec{e_2})$ をそれぞれ求める。 (2) 1次変換 $f \circ g$ を表す行列を求める。

1. 問題の内容

$f$ を $x$ 軸に関する折り返し、 $g$ を直線 $y=x$ に関する折り返しとする1次変換とする。

(1) $\vec{e_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ に対して、$f(\vec{e_2})$ と $g(\vec{e_2})$ をそれぞれ求める。

(2) 1次変換 $f \circ g$ を表す行列を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$x$ 軸に関する折り返し変換 $f$ は、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}$ に変換する。したがって、

$f(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}$

$\vec{e_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ に対して、

$f(\vec{e_2}) = f(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

直線 $y=x$ に関する折り返し変換 $g$ は、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$ に変換する。したがって、

$g(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$

$\vec{e_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ に対して、

$g(\vec{e_2}) = g(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

(2)

1次変換 $f$ を表す行列を $F$、 1次変換 $g$ を表す行列を $G$ とすると、

$F = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

$G = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

1次変換 $f \circ g$ を表す行列は $FG$ である。

$FG = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1)

$f(\vec{e_2}) = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

$g(\vec{e_2}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

(2)

$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$