(1) 原点を中心として$\theta$回転させる平面上の1次変換を表す行列を求めよ。 (2) $2 \times 2$対称行列の例を2つ示せ。 (3) 零行列ではない$2 \times 2$行列$A$で、$A^2 = O$ (零行列) を満たす例を1つ示せ。

1. 問題の内容

(1) 原点を中心として$\theta$回転させる平面上の1次変換を表す行列を求めよ。

(2) $2 \times 2$対称行列の例を2つ示せ。

(3) 零行列ではない$2 \times 2$行列$A$で、$A^2 = O$ (零行列) を満たす例を1つ示せ。

2. 解き方の手順

(1) 原点を中心とする$\theta$回転の変換行列は、$(x,y)$を$(x\cos\theta - y\sin\theta, x\sin\theta + y\cos\theta)$に写すので、

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

となる。

(2) $2 \times 2$対称行列は、$\begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$の形を持つ。具体的な例を2つ挙げる。

(3) $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$とすると、$A^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2+bc & ab+bd \\ ca+dc & cb+d^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$となる必要がある。

$A$が零行列ではないという条件を満たす必要がある。

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$とすると、$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$となる。

3. 最終的な答え

(1)

$\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

(2)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

(3)

$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$