与えられた2つの4x4行列の行列式を計算する問題です。 (1) $ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 5 & 7 \\ 3^2 & 2^2 & 5^2 & 7^2 \\ 3^3 & 2^3 & 5^3 & 7^3 \end{vmatrix} $ (2) $ \begin{vmatrix} 3 & 2^2 & 1 & 1 \\ 3^2 & 2^3 & 1 & 7 \\ 3^3 & 2^4 & 1 & 7^2 \\ 3^4 & 2^5 & 1 & 7^3 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた2つの4x4行列の行列式を計算する問題です。

(1)

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 5 & 7 \\ 3^2 & 2^2 & 5^2 & 7^2 \\ 3^3 & 2^3 & 5^3 & 7^3 \end{vmatrix}$

(2)

$\begin{vmatrix} 3 & 2^2 & 1 & 1 \\ 3^2 & 2^3 & 1 & 7 \\ 3^3 & 2^4 & 1 & 7^2 \\ 3^4 & 2^5 & 1 & 7^3 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

(1)

この行列式は、ヴァンデルモンド行列の一般化された形です。ヴァンデルモンド行列は、

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\ x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \dots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \dots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)$

という公式で計算できます。

この問題では、$x_1 = 3, x_2 = 2, x_3 = 5, x_4 = 7$ なので、

行列式は $(2-3)(5-3)(7-3)(5-2)(7-2)(7-5) = (-1)(2)(4)(3)(5)(2) = -240$ となります。

(2)

まず、3列目と4列目に関して、3列目から4列目を引きます。

$\begin{vmatrix} 3 & 2^2 & 1 & 1 \\ 3^2 & 2^3 & 1 & 7 \\ 3^3 & 2^4 & 1 & 7^2 \\ 3^4 & 2^5 & 1 & 7^3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 2^2 & 0 & 1 \\ 3^2 & 2^3 & -6 & 7 \\ 3^3 & 2^4 & -48 & 7^2 \\ 3^4 & 2^5 & -342 & 7^3 \end{vmatrix}$

次に、第1列から、$3, 3^2, 3^3, 3^4$ を、$3^0, 3^1, 3^2, 3^3$に変更します。同様に第2列から、$2^2, 2^3, 2^4, 2^5$ を、$2^0, 2^1, 2^2, 2^3$に変更します。

これは、第1列を$3$で割り、第2列を$2^2$で割ることと等価です。最後に、その積 $3 * 2^2 = 12$ を行列式の前にかけます。

$12 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & -6 & 7 \\ 3^2 & 2^2 & -48 & 7^2 \\ 3^3 & 2^3 & -342 & 7^3 \end{vmatrix}$

3列目に関して、$c_3 = c_3 + 6c_1 - 6c_2$ を実行する。

$12 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 6 - 6 & 7 \\ 3^2 & 2^2 & 54 - 24 & 7^2 \\ 3^3 & 2^3 & 162 - 48 & 7^3 \end{vmatrix} = 12 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 0 & 7 \\ 3^2 & 2^2 & 30 & 7^2 \\ 3^3 & 2^3 & 114 & 7^3 \end{vmatrix}$

行列式を第3列で展開します。

$12 [ 30 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 7 \\ 3^3 & 2^3 & 7^3 \end{vmatrix} -114 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 7 \\ 3^2 & 2^2 & 7^2 \end{vmatrix} ] = 12 (30 -114) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 7 \\ 3^2 & 2^2 & 7^2 \end{vmatrix} = 12(-84) [(2-3)(7-3)(7-2)] = 12(-84) (-1)(4)(5) = 12*84*20 = 20160$

3. 最終的な答え

(1) -240

(2) 20160