## 問題の解説

## 問題の解説

与えられた問題は、2つの行列式を計算することです。

(1) は以下の行列式です。

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 5 & 7 \\ 3^2 & 2^2 & 5^2 & 7^2 \\ 3^3 & 2^3 & 5^3 & 7^3 \end{vmatrix}$

(3) は以下の行列式です。

$\begin{vmatrix} 2^3 & 1 & 2^2 & 2 \\ -3^3 & 1 & 3^2 & -3 \\ 7^3 & 1 & 7^2 & 7 \\ 5^3 & 1 & 5^2 & 5 \end{vmatrix}$

## 解き方の手順

### (1) の解法

(1) の行列式は、ヴァンデルモンドの行列式です。ヴァンデルモンドの行列式は以下の形で表されます。

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)$

この問題の場合、$x_1 = 3, x_2 = 2, x_3 = 5, x_4 = 7$ です。したがって、行列式の値は

$(2-3)(5-3)(7-3)(5-2)(7-2)(7-5)$

$= (-1)(2)(4)(3)(5)(2)$

$= -240$

### (3) の解法

(3) の行列式を計算します。4列目から1列目の要素を引くと、

$\begin{vmatrix} 2^3 & 1 & 2^2 & 2-2^3 \\ -3^3 & 1 & 3^2 & -3-(-3^3) \\ 7^3 & 1 & 7^2 & 7-7^3 \\ 5^3 & 1 & 5^2 & 5-5^3 \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} 2^3 & 1 & 2^2 & 2(1-2^2) \\ -3^3 & 1 & 3^2 & -3(1-3^2) \\ 7^3 & 1 & 7^2 & 7(1-7^2) \\ 5^3 & 1 & 5^2 & 5(1-5^2) \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} 2^3 & 1 & 2^2 & -6 \\ -3^3 & 1 & 3^2 & 24 \\ 7^3 & 1 & 7^2 & -336 \\ 5^3 & 1 & 5^2 & -120 \end{vmatrix}$

4列目を展開すると、

$2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot (2+3)(2+5)(2+7)(3-5)(3-7)(5-7) = (2-3)(2-7)(2-5)(3-7)(3-5)(7-5)=0$

これはヴァンデルモンド行列に似ていますが、2列目が全て1なので、少し工夫が必要です。

$C_4$を$C_1$で引くと、$C_4$列のすべての要素が $x - x^3$ になります。

$x - x^3 = x(1-x^2)$として因数分解できます。

ここで、$C_1$と$C_3$と$C_4$が同じ形になってきたので、いくつかの線形結合で、行列式を0にできます。

別の方法として、2列目に関して余因子展開することも考えられます。

しかし、計算量が膨大になるため、あまり効率的ではありません。

そこで、行列式の性質を利用して計算を簡略化することを試みます。

まず、4列目から1列目を引きます。

$\begin{vmatrix} 2^3 & 1 & 2^2 & 2-2^3 \\ -3^3 & 1 & 3^2 & -3-(-3^3) \\ 7^3 & 1 & 7^2 & 7-7^3 \\ 5^3 & 1 & 5^2 & 5-5^3 \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} 8 & 1 & 4 & -6 \\ -27 & 1 & 9 & 24 \\ 343 & 1 & 49 & -336 \\ 125 & 1 & 25 & -120 \end{vmatrix}$

ここで、4列目はそれぞれの数の定数倍になっていることがわかります。

$2-2^3 = 2(1-2^2), -3 - (-3)^3 = -3(1-3^2), 7 - 7^3 = 7(1-7^2), 5 - 5^3 = 5(1-5^2)$.

この行列式は０になります。

## 最終的な答え

(1) の答え: -240

(3) の答え: 0