与えられた行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ の (1, 4) 成分を求めよ。ここで、行列 $A$ は $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 4 & -1 & 2 & -5 \\ 1 & 4 & -2 & 4 \\ 0 & 3 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ で与えられています。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ の (1, 4) 成分を求めよ。ここで、行列 $A$ は

$A = \begin{pmatrix}

0 & 0 & -1 & 0 \\

4 & -1 & 2 & -5 \\

1 & 4 & -2 & 4 \\

0 & 3 & 1 & 3

\end{pmatrix}$

で与えられています。

2. 解き方の手順

逆行列 $A^{-1}$ の (1,4) 成分は、$A$ の余因子行列の転置行列（すなわち、随伴行列）を $|A|$ で割ったものです。つまり、 $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A)$ です。ここで $adj(A)$ は $A$ の随伴行列です。

$A^{-1}$の(1,4)成分は、$\frac{C_{41}}{|A|}$ で求められます。ここで、$C_{41}$ は $A$ の (4,1) 余因子です。

まず、$|A|$ を計算します。第1行に沿って展開すると、

$|A| = 0 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{12} + (-1) \cdot C_{13} + 0 \cdot C_{14} = -C_{13}$

ここで、$C_{13}$ は (1,3) 余因子であり、

$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 4 & -1 & -5 \\ 1 & 4 & 4 \\ 0 & 3 & 3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 4 & -1 & -5 \\ 1 & 4 & 4 \\ 0 & 3 & 3 \end{vmatrix}$

$C_{13} = 4(12-12) - (-1)(3-0) + (-5)(3-0) = 0 + 3 - 15 = -12$

したがって、 $|A| = -C_{13} = -(-12) = 12$

次に、$C_{41}$ を計算します。

$C_{41} = (-1)^{4+1} \begin{vmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -5 \\ 4 & -2 & 4 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -5 \\ 4 & -2 & 4 \end{vmatrix}$

$C_{41} = -[0(8-10) - (-1)(-4 - (-20)) + 0(-2-8)] = -[0 + (-1)(16) + 0] = -(-16) = 16$

最後に、$A^{-1}$ の (1,4) 成分を計算します。

$A^{-1}(1,4) = \frac{C_{41}}{|A|} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

4/3