実数 $x$ に関する条件 $p$ と $q$ が与えられています。ただし、$a$ は正の定数です。 $p: |x-2| < 3$ $q: x^2 - ax - 2a^2 < 0$ (1) 不等式 $|x-2| < 3$ を解きなさい。 (2) $p$ が $q$ であるための必要条件となるような $a$ のとり得る値の範囲を求めなさい。

1. 問題の内容

実数 $x$ に関する条件 $p$ と $q$ が与えられています。ただし、$a$ は正の定数です。

$p: |x-2| < 3$

$q: x^2 - ax - 2a^2 < 0$

(1) 不等式 $|x-2| < 3$ を解きなさい。

(2) $p$ が $q$ であるための必要条件となるような $a$ のとり得る値の範囲を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) $|x-2| < 3$ を解きます。

絶対値の不等式 $|x-2| < 3$ は $-3 < x-2 < 3$ と同値です。

各辺に $2$ を加えると、 $-3+2 < x < 3+2$ となり、 $-1 < x < 5$ が得られます。

(2) $p$ が $q$ であるための必要条件ということは、$q \implies p$ が成り立つということです。つまり、$q$ を満たす $x$ は必ず $p$ を満たします。

$q: x^2 - ax - 2a^2 < 0$ を因数分解すると、$(x-2a)(x+a) < 0$ となります。

したがって、$-a < x < 2a$ です。

$p: -1 < x < 5$

$q \implies p$ ということは、$-a < x < 2a$ ならば $-1 < x < 5$ であるということです。

数直線で考えると、$-1 < x < 5$ の範囲に $-a < x < 2a$ が含まれる必要があります。つまり、

$-1 \le -a$ かつ $2a \le 5$

$a \le 1$ かつ $a \le \frac{5}{2}$

$a$ は正の定数なので、$0 < a \le 1$ です。

3. 最終的な答え

(1) $-1 < x < 5$

(2) $0 < a \le 1$