行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求める問題です。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 固有値を求める。

固有値を $\lambda$ とすると、固有方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解くことによって求めることができます。ここで、$I$ は単位行列です。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 3 & 2 - \lambda \end{pmatrix}$

$|A - \lambda I| = (1-\lambda)(2-\lambda) - (2)(3) = \lambda^2 - 3\lambda - 4 = (\lambda - 4)(\lambda + 1) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 4$ と $\lambda_2 = -1$ です。

(2) 固有ベクトルを求める。

固有値 $\lambda_1 = 4$ に対応する固有ベクトルを $v_1 = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とすると、$(A - \lambda_1 I)v_1 = 0$ を満たします。

$\begin{pmatrix} 1-4 & 2 \\ 3 & 2-4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-3x + 2y = 0$ より $y = \frac{3}{2}x$ です。

$x = 2$ とすると $y = 3$ となるので、固有ベクトル $v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ が得られます。

固有値 $\lambda_2 = -1$ に対応する固有ベクトルを $v_2 = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とすると、$(A - \lambda_2 I)v_2 = 0$ を満たします。

$\begin{pmatrix} 1-(-1) & 2 \\ 3 & 2-(-1) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2x + 2y = 0$ より $y = -x$ です。

$x = 1$ とすると $y = -1$ となるので、固有ベクトル $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ が得られます。

3. 最終的な答え

固有値: $\lambda_1 = 4$, $\lambda_2 = -1$

固有ベクトル: $v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$