与えられた等式 $(a^2 + 2b^2)(c^2 + 2d^2) = (ac + 2bd)^2 + 2(ad - bc)^2$ を証明せよ。

1. 問題の内容

与えられた等式 $(a^2 + 2b^2)(c^2 + 2d^2) = (ac + 2bd)^2 + 2(ad - bc)^2$ を証明せよ。

2. 解き方の手順

与えられた等式の右辺を展開し、左辺と一致することを示す。

まず、右辺を展開する。

$(ac + 2bd)^2 = (ac)^2 + 2(ac)(2bd) + (2bd)^2 = a^2c^2 + 4abcd + 4b^2d^2$

$2(ad - bc)^2 = 2((ad)^2 - 2(ad)(bc) + (bc)^2) = 2(a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2) = 2a^2d^2 - 4abcd + 2b^2c^2$

したがって、右辺は次のようになる。

$(ac + 2bd)^2 + 2(ad - bc)^2 = (a^2c^2 + 4abcd + 4b^2d^2) + (2a^2d^2 - 4abcd + 2b^2c^2) = a^2c^2 + 2a^2d^2 + 2b^2c^2 + 4b^2d^2$

次に、左辺を展開する。

$(a^2 + 2b^2)(c^2 + 2d^2) = a^2c^2 + a^2(2d^2) + 2b^2c^2 + 2b^2(2d^2) = a^2c^2 + 2a^2d^2 + 2b^2c^2 + 4b^2d^2$

右辺と左辺が等しいことが示された。

3. 最終的な答え

$(a^2 + 2b^2)(c^2 + 2d^2) = (ac + 2bd)^2 + 2(ad - bc)^2$