与えられた連立方程式 $Ax = b$ に対して、行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求め、その結果を用いて連立方程式の解 $x$ を求める。 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 2 \\ 5 & 7 & 3 \end{bmatrix}$, $x = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$, $b = \begin{bmatrix} -5 \\ -4 \\ -10 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた連立方程式 $Ax = b$ に対して、行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求め、その結果を用いて連立方程式の解 $x$ を求める。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 2 \\ 5 & 7 & 3 \end{bmatrix}$, $x = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$, $b = \begin{bmatrix} -5 \\ -4 \\ -10 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める。行列 $A$ に単位行列 $I$ を並べた拡大行列を作り、基本変形を行って左側を単位行列にすることを試みる。

$[A | I] = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 7 & 3 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

2行目から1行目の2倍を引く ($R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$):

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & | & -2 & 1 & 0 \\ 5 & 7 & 3 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3行目から1行目の5倍を引く ($R_3 \leftarrow R_3 - 5R_1$):

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & | & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 3 & | & -5 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

2行目と3行目を入れ替える ($R_2 \leftrightarrow R_3$):

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 3 & | & -5 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & | & -2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

2行目を-3で割る ($R_2 \leftarrow R_2 / -3$):

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 5/3 & 0 & -1/3 \\ 0 & 0 & 2 & | & -2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

1行目から2行目の2倍を引く ($R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2$):

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & | & -7/3 & 0 & 2/3 \\ 0 & 1 & -1 & | & 5/3 & 0 & -1/3 \\ 0 & 0 & 2 & | & -2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

3行目を2で割る ($R_3 \leftarrow R_3 / 2$):

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & | & -7/3 & 0 & 2/3 \\ 0 & 1 & -1 & | & 5/3 & 0 & -1/3 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 1/2 & 0 \end{bmatrix}$

1行目から3行目の2倍を引く ($R_1 \leftarrow R_1 - 2R_3$):

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -1/3 & -1 & 2/3 \\ 0 & 1 & -1 & | & 5/3 & 0 & -1/3 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 1/2 & 0 \end{bmatrix}$

2行目に3行目を足す ($R_2 \leftarrow R_2 + R_3$):

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -1/3 & -1 & 2/3 \\ 0 & 1 & 0 & | & 2/3 & 1/2 & -1/3 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 1/2 & 0 \end{bmatrix}$

よって、$A^{-1}$ は次のようになる。

$A^{-1} = \begin{bmatrix} -1/3 & -1 & 2/3 \\ 2/3 & 1/2 & -1/3 \\ -1 & 1/2 & 0 \end{bmatrix}$

次に、$x = A^{-1}b$ を計算する。

$x = \begin{bmatrix} -1/3 & -1 & 2/3 \\ 2/3 & 1/2 & -1/3 \\ -1 & 1/2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -5 \\ -4 \\ -10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5/3 + 4 - 20/3 \\ -10/3 - 2 + 10/3 \\ 5 - 2 + 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{bmatrix} -1/3 & -1 & 2/3 \\ 2/3 & 1/2 & -1/3 \\ -1 & 1/2 & 0 \end{bmatrix}$

$x = \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix}$