与えられた4x4行列Aの行列式を計算する問題です。 $A = \begin{bmatrix} 5 & 2 & 8 & 7 \\ 8 & 3 & 9 & 8 \\ 2 & 0 & 6 & 5 \\ 2 & 1 & 3 & 2 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列Aの行列式を計算する問題です。

$A = \begin{bmatrix} 5 & 2 & 8 & 7 \\ 8 & 3 & 9 & 8 \\ 2 & 0 & 6 & 5 \\ 2 & 1 & 3 & 2 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するには、いくつかの方法がありますが、ここでは余因子展開を利用します。まず、第3行に着目します。なぜなら、第3行に0が含まれているため、計算が少し簡単になるからです。第3行に沿って余因子展開を行うと、

$det(A) = 2 \cdot C_{31} + 0 \cdot C_{32} + 6 \cdot C_{33} + 5 \cdot C_{34}$

ここで、$C_{ij}$は(i, j)成分の余因子です。特に、$C_{32}$の項は0になるので計算不要です。

$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 2 & 8 & 7 \\ 3 & 9 & 8 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (2(18-24) - 8(6-8) + 7(9-9)) = 2(-6) - 8(-2) + 7(0) = -12 + 16 + 0 = 4$

$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 5 & 2 & 7 \\ 8 & 3 & 8 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (5(6-8) - 2(16-16) + 7(8-6)) = 5(-2) - 2(0) + 7(2) = -10 - 0 + 14 = 4$

$C_{34} = (-1)^{3+4} \begin{vmatrix} 5 & 2 & 8 \\ 8 & 3 & 9 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot (5(9-9) - 2(24-18) + 8(8-6)) = -1 \cdot (5(0) - 2(6) + 8(2)) = -1 \cdot (0 - 12 + 16) = -1 \cdot 4 = -4$

したがって、$det(A) = 2(4) + 0 + 6(4) + 5(-4) = 8 + 24 - 20 = 12$

3. 最終的な答え

12