数列 $a_n$ が、$a_1 = 5$ および漸化式 $a_{n+1} = -2a_n + 6$ を満たすとき、$a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $a_n$ が、$a_1 = 5$ および漸化式 $a_{n+1} = -2a_n + 6$ を満たすとき、$a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式 $a_{n+1} = -2a_n + 6$ は、特性方程式を用いることで解くことができます。

特性方程式を $x = -2x + 6$ と置きます。

これを解くと、

$3x = 6$

$x = 2$

したがって、$a_{n+1} - 2 = -2(a_n - 2)$ と変形できます。

ここで、$b_n = a_n - 2$ と置くと、$b_{n+1} = -2b_n$ となります。

これは、数列 $b_n$ が公比 $-2$ の等比数列であることを示しています。

初項 $b_1$ は、$b_1 = a_1 - 2 = 5 - 2 = 3$ です。

したがって、$b_n = b_1 \cdot (-2)^{n-1} = 3 \cdot (-2)^{n-1}$ となります。

$a_n = b_n + 2$ であるから、

$a_n = 3 \cdot (-2)^{n-1} + 2$

3. 最終的な答え

$a_n = 3(-2)^{n-1} + 2$