問題10-1: 与えられた行列の行列式を計算します。 問題10-2: 与えられた4点を頂点とする平行四辺形の面積を計算します。 問題10-3: 与えられた3つのベクトルが張る平行六面体の体積を計算します。

1. 問題の内容

問題10-1: 与えられた行列の行列式を計算します。

問題10-2: 与えられた4点を頂点とする平行四辺形の面積を計算します。

問題10-3: 与えられた3つのベクトルが張る平行六面体の体積を計算します。

2. 解き方の手順

問題10-1:

(1) 2x2行列 $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ の行列式は $(1)(1) - (3)(2) = 1 - 6 = -5$。

(2) 2x2行列 $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$ の行列式は $(1)(-2) - (-1)(2) = -2 + 2 = 0$。

(3) 3x3行列 $\begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & -3 & -1 \end{pmatrix}$ の行列式は $(-1)((1)(-1) - (2)(-3)) - 2((1)(-1) - (2)(2)) + 1((1)(-3) - (1)(2)) = (-1)(-1 + 6) - 2(-1 - 4) + 1(-3 - 2) = (-1)(5) - 2(-5) + 1(-5) = -5 + 10 - 5 = 0$。

(4) 3x3行列 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ の行列式は $(1)((1)(0) - (1)(-1)) - 2((2)(0) - (1)(3)) + (-1)((2)(-1) - (1)(3)) = (1)(0 + 1) - 2(0 - 3) + (-1)(-2 - 3) = (1)(1) - 2(-3) + (-1)(-5) = 1 + 6 + 5 = 12$。

問題10-2:

(1) O(0,0), A(1,3), B(3,2), C(4,5)

平行四辺形OACBの面積は、ベクトル $\vec{OA} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ と $\vec{OB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ が張る平行四辺形の面積の絶対値に等しいです。

面積 $S = |(1)(2) - (3)(3)| = |2 - 9| = |-7| = 7$。

(2) O(0,0,0), A(1,1,2), B(2,-1,0), C(3,0,2)

平行四辺形OACBの面積は、ベクトル $\vec{OA} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ と $\vec{OB} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ の外積の大きさです。

$\vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{pmatrix} (1)(0) - (2)(-1) \\ (2)(2) - (1)(0) \\ (1)(-1) - (1)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}$

面積 $S = \sqrt{(2)^2 + (4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29}$。

(3) A(-1,0,3), B(0,1,1), C(1,2,0), D(2,3,-2)

$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 0 - (-1) \\ 1 - 0 \\ 1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

$\vec{AD} = \begin{pmatrix} 2 - (-1) \\ 3 - 0 \\ -2 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix}$

$\vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{pmatrix} (1)(-5) - (-2)(3) \\ (-2)(3) - (1)(-5) \\ (1)(3) - (1)(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 + 6 \\ -6 + 5 \\ 3 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$

面積 $S = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + (0)^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$。

問題10-3:

O(0,0,0), A(1,2,3), B(2,-1,2), C(-3,3,-2)

平行六面体の体積は、ベクトル $\vec{OA} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\vec{OB} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\vec{OC} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ のスカラー三重積の絶対値です。

$V = |\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC})| = \left| \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 2 \\ -3 & 3 & -2 \end{vmatrix} \right|$

$V = |1((-1)(-2) - (2)(3)) - 2((2)(-2) - (2)(-3)) + 3((2)(3) - (-1)(-3))| = |1(2 - 6) - 2(-4 + 6) + 3(6 - 3)| = |1(-4) - 2(2) + 3(3)| = |-4 - 4 + 9| = |1| = 1$。

3. 最終的な答え

問題10-1:

(1) -5

(2) 0

(3) 0

(4) 12

問題10-2:

(1) 7

(2) $\sqrt{29}$

(3) $\sqrt{2}$

問題10-3:

1