与えられたパラメータ表示 $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ を持つ連立一次方程式 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ が存在する。 (1) $\mathbf{b} \neq \mathbf{0}$ であることを示す。 (2) 与えられたパラメータ表示を解に持つような $A$ と $\mathbf{b}$ の例を一つ挙げる。

1. 問題の内容

与えられたパラメータ表示 $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ を持つ連立一次方程式 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ が存在する。

(1) $\mathbf{b} \neq \mathbf{0}$ であることを示す。

(2) 与えられたパラメータ表示を解に持つような $A$ と $\mathbf{b}$ の例を一つ挙げる。

2. 解き方の手順

(1) $\mathbf{b} \neq \mathbf{0}$ を示す。

連立一次方程式 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ の解が $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ で与えられているとき、$s=0$ かつ $t=0$ のとき、$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ は解である。

したがって、

$A\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \mathbf{b}$

また、$A\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \mathbf{0}$ かつ $A\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \mathbf{0}$ である。

もし $\mathbf{b} = \mathbf{0}$ ならば、$A\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \mathbf{0}$。

$A\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \mathbf{0}$ かつ $A\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \mathbf{0}$ より、$\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ は $A$ の零空間に含まれる。

もし $\mathbf{b}=\mathbf{0}$ ならば、$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ も零空間に含まれる。

しかし、$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ の線形結合で表すことができないため、矛盾が生じる。

したがって、$\mathbf{b} \neq \mathbf{0}$。

(2) 解が上記のパラメータ表示で与えられるような $A$ と $\mathbf{b}$ の例を1組あげる。

$\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ は $A$ の零空間に含まれるので、

$A \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0$ かつ $A \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0$。

$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ とすれば、これは成り立つが、このとき$\mathbf{b}=\mathbf{0}$となってしまうので不適。

零空間が $\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ で張られる平面であるような行列 $A$ を考える。

$\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}$

よって、$A = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 \end{pmatrix}$ とすると、$A \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 4 - 4 = 0$ かつ $A \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 2 - 4 + 2 = 0$ が成り立つ。

このとき、$\mathbf{b} = A \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 - 8 = -7$。

したがって、$A = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 \end{pmatrix}$ かつ $\mathbf{b} = -7$。

3. 最終的な答え

(1) $\mathbf{b} \neq \mathbf{0}$ は示された。

(2) $A = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = -7$