$\sum_{k=1}^{10} (-2)^k$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{10} (-2)^k$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この問題は、初項が $-2$、公比が $-2$ の等比数列の和を求める問題です。等比数列の和の公式は次の通りです。

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

ここで、$S_n$ は初項から第 $n$ 項までの和、$a$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項数を表します。今回の問題では、$a = -2$、$r = -2$、$n = 10$ です。

上記の公式にこれらの値を代入します。

$S_{10} = \frac{-2(1-(-2)^{10})}{1-(-2)}$

$S_{10} = \frac{-2(1-1024)}{3}$

$S_{10} = \frac{-2(-1023)}{3}$

$S_{10} = \frac{2046}{3}$

$S_{10} = 682$

3. 最終的な答え

682