行列 $A = \begin{pmatrix} 6 & -9 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$ で定まる一次変換 $f$ について、以下の問いに答えます。 (1) 点 $P(1, 1)$ の $f$ による像を求めます。 (2) 直線 $x - y = 0$ の $f$ による像を求めます。 (3) 零ベクトル $\vec{0}$ の $f$ による逆像を求めます。 (4) $f$ が1対1対応（全単射）であるかどうかを判定します。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 6 & -9 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$ で定まる一次変換 $f$ について、以下の問いに答えます。

(1) 点 $P(1, 1)$ の $f$ による像を求めます。

(2) 直線 $x - y = 0$ の $f$ による像を求めます。

(3) 零ベクトル $\vec{0}$ の $f$ による逆像を求めます。

(4) $f$ が1対1対応（全単射）であるかどうかを判定します。

2. 解き方の手順

(1) 点 $P(1, 1)$ の像

点 $P(1, 1)$ をベクトルで表すと $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ となります。

$f$ による像は $A\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ で計算できます。

$A\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -9 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - 9 \\ 2 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix}$

したがって、点 $P(1, 1)$ の像は $(-3, -1)$ です。

(2) 直線 $x - y = 0$ の像

直線 $x - y = 0$ 上の点を $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とすると、$x = y$ が成り立ちます。

この点を $f$ で変換した点を $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ とすると、

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -9 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6x - 9x \\ 2x - 3x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3x \\ -x \end{pmatrix}$

したがって、$x' = -3x$, $y' = -x$ となり、$x = -\frac{x'}{3}$, $x = -y'$ です。

よって、$-\frac{x'}{3} = -y'$ より $x' = 3y'$ が成り立ちます。

したがって、直線 $x - y = 0$ の像は $x = 3y$ です。

(3) 零ベクトル $\vec{0}$ の逆像

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ が零ベクトルの逆像であるとき、

$A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 6 & -9 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

これは連立方程式

$6x - 9y = 0$

$2x - 3y = 0$

を表します。

どちらの式も $2x - 3y = 0$ となり、$2x = 3y$ すなわち $x = \frac{3}{2}y$ です。

したがって、零ベクトルの逆像は、直線 $x = \frac{3}{2}y$ 上の点すべてです。

(4) $f$ が1対1対応かどうか

行列 $A$ の行列式を計算すると、

$\det(A) = (6)(-3) - (-9)(2) = -18 + 18 = 0$

行列式が0であるため、一次変換 $f$ は1対1対応ではありません。

3. 最終的な答え

(1) 点 $P(1, 1)$ の像： $(-3, -1)$

(2) 直線 $x - y = 0$ の像： $x = 3y$

(3) 零ベクトルの逆像： 直線 $x = \frac{3}{2}y$ 上の点すべて

(4) $f$ が1対1対応かどうか： 1対1対応ではない