放物線 $y = 3x^2 + 5kx + 2k^2 + k - 3$ が $x$ 軸に接するような $k$ の値を求め、そのときの放物線のグラフを描く。

1. 問題の内容

放物線 $y = 3x^2 + 5kx + 2k^2 + k - 3$ が $x$ 軸に接するような $k$ の値を求め、そのときの放物線のグラフを描く。

2. 解き方の手順

放物線が $x$ 軸に接するということは、$y = 0$ とした二次方程式 $3x^2 + 5kx + 2k^2 + k - 3 = 0$ が重解を持つということである。したがって、この二次方程式の判別式 $D$ が $D = 0$ となるような $k$ の値を求めればよい。

判別式 $D$ は、

$D = (5k)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (2k^2 + k - 3) = 25k^2 - 12(2k^2 + k - 3) = 25k^2 - 24k^2 - 12k + 36 = k^2 - 12k + 36$

$D = 0$ より、

$k^2 - 12k + 36 = 0$

$(k - 6)^2 = 0$

$k = 6$

$k = 6$ のとき、放物線の式は

$y = 3x^2 + 5 \cdot 6 x + 2 \cdot 6^2 + 6 - 3 = 3x^2 + 30x + 72 + 6 - 3 = 3x^2 + 30x + 75$

$y = 3(x^2 + 10x + 25) = 3(x + 5)^2$

これは頂点が $(-5, 0)$ で、$x^2$ の係数が正の放物線である。

3. 最終的な答え

$k = 6$

グラフ：頂点 $(-5,0)$ で $x^2$ の係数が 3 の放物線。

グラフは省略します。