$y = \cos^2\theta + \sqrt{2}\sin\theta$ の最大値または最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

$y = \cos^2\theta + \sqrt{2}\sin\theta$ の最大値または最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^2\theta$ を $\sin\theta$ を用いて表します。三角関数の恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ となります。

これを元の式に代入すると、

$y = 1 - \sin^2\theta + \sqrt{2}\sin\theta$

となります。

次に、$\sin\theta = t$ とおきます。ここで $-1 \leq t \leq 1$ であることに注意してください。すると、

$y = 1 - t^2 + \sqrt{2}t$

となります。

これは、$t$ の二次関数なので、平方完成を行います。

$y = -(t^2 - \sqrt{2}t) + 1$

$y = -\left(t^2 - \sqrt{2}t + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 1$

$y = -\left(t - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \frac{2}{4} + 1$

$y = -\left(t - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} + 1$

$y = -\left(t - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \frac{3}{2}$

したがって、$y = -\left(t - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \frac{3}{2}$ となります。

ここで、$t = \sin\theta$ であり、$-1 \leq t \leq 1$ であることを考慮します。

$t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$y$ は最大値 $\frac{3}{2}$ をとります。これは、$-1 \leq t \leq 1$ の範囲に含まれています。

$t = -1$ のとき、$y = -(-1 - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \frac{3}{2} = -\left(1 + \sqrt{2} + \frac{1}{2}\right) + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} - \sqrt{2} + \frac{3}{2} = -\sqrt{2}$

$t = 1$ のとき、$y = -(1 - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \frac{3}{2} = -\left(1 - \sqrt{2} + \frac{1}{2}\right) + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} + \sqrt{2} + \frac{3}{2} = \sqrt{2}$

$y$ の最大値は $t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$\frac{3}{2}$ です。

$y$ の最小値は $t = -1$ のとき、$-\sqrt{2}$ です。

問題文には最大値または最小値を求めるとしか書かれていないため、最大値と最小値の両方を答えることも可能です。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{3}{2}$

最小値: $-\sqrt{2}$