2つの整数148, 245を自然数$n$で割ったとき、余りがそれぞれ4, 5となる自然数$n$は全部で何個あるか求めよ。

1. 問題の内容

2つの整数148, 245を自然数$n$で割ったとき、余りがそれぞれ4, 5となる自然数$n$は全部で何個あるか求めよ。

2. 解き方の手順

148を$n$で割った余りが4であることから、$148 = nq_1 + 4$ （$q_1$は整数）と表せる。

同様に、245を$n$で割った余りが5であることから、$245 = nq_2 + 5$ （$q_2$は整数）と表せる。

これらの式を変形すると、

$nq_1 = 148 - 4 = 144$

$nq_2 = 245 - 5 = 240$

したがって、$n$は144と240の公約数である。

また、$148 = nq_1 + 4$より、$n>4$であり、$245 = nq_2 + 5$より、$n>5$である。

したがって、$n>5$である。

144と240の最大公約数を求める。

$144 = 2^4 \times 3^2$

$240 = 2^4 \times 3 \times 5$

よって、最大公約数は$2^4 \times 3 = 16 \times 3 = 48$

144と240の公約数は48の約数である。

48の約数を求める。

$48 = 2^4 \times 3$なので、約数の個数は$(4+1)(1+1) = 5 \times 2 = 10$個

48の約数は、1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

この中で、$n>5$を満たすものは、6, 8, 12, 16, 24, 48 の6個である。

3. 最終的な答え

6個