$\sqrt[3]{128} \sqrt{27}$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$\sqrt[3]{128} \sqrt{27}$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt[3]{128}$ を計算します。128を素因数分解すると、$128 = 2^7$ となります。したがって、

$\sqrt[3]{128} = \sqrt[3]{2^7} = \sqrt[3]{2^6 \cdot 2} = \sqrt[3]{(2^2)^3 \cdot 2} = 2^2 \sqrt[3]{2} = 4\sqrt[3]{2}$

次に、$\sqrt{27}$ を計算します。27を素因数分解すると、$27 = 3^3$ となります。したがって、

$\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$

したがって、

$\sqrt[3]{128} \sqrt{27} = 4\sqrt[3]{2} \cdot 3\sqrt{3} = 12 \sqrt[3]{2} \sqrt{3}$

選択肢にないので、問題の式を再確認すると、

$\sqrt[3]{128} \times \sqrt{27} = \sqrt[3]{2^7} \times \sqrt{3^3} = 2^{\frac{7}{3}} \times 3^{\frac{3}{2}} = 2^{2+\frac{1}{3}} \times 3^{1+\frac{1}{2}} = 2^2 \times 2^{\frac{1}{3}} \times 3 \times 3^{\frac{1}{2}} = 4 \times \sqrt[3]{2} \times 3 \times \sqrt{3} = 12 \times \sqrt[3]{2} \times \sqrt{3}$.

問題文が$\sqrt[3]{128\sqrt{27}}$であれば、

$\sqrt[3]{128\sqrt{27}} = \sqrt[3]{128 \cdot 3\sqrt{3}} = \sqrt[3]{384\sqrt{3}} = \sqrt[3]{2^7 \cdot 3 \cdot 3^{\frac{1}{2}}} = \sqrt[3]{2^7 \cdot 3^{\frac{3}{2}}} = 2^{\frac{7}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 2^2 \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt[3]{2}\sqrt{3}$

問題文が $\sqrt[3]{128} \cdot \sqrt{27}$ のとき、計算結果は $12\sqrt[3]{2}\sqrt{3}$ となります。これは選択肢にありません。

$\sqrt[3]{128} \cdot \sqrt{27} = \sqrt[3]{64 \cdot 2} \cdot \sqrt{9 \cdot 3} = 4\sqrt[3]{2} \cdot 3\sqrt{3} = 12\sqrt[3]{2} \sqrt{3}$.

しかし、もし問題が $\sqrt[3]{128\sqrt{27}}$ だとしたら、

$\sqrt[3]{128\sqrt{27}} = \sqrt[3]{128 \cdot 3\sqrt{3}} = \sqrt[3]{384\sqrt{3}} = \sqrt[3]{2^7 \cdot 3^{3/2}} = \sqrt[3]{2^7 \cdot 3\sqrt{3}} = 2^{7/3} \cdot 3^{1/2} = 2^{2+\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{3} = 4 \sqrt[3]{2}\sqrt{3}$.

問題文が $\sqrt[3]{128} \sqrt{27}$ であると仮定すると、

$12\sqrt[3]{2}\sqrt{3}$ が答えとなりますが、選択肢にはありません。

問題の意図が不明なため、ここでは $\sqrt[3]{128}\sqrt{27}$を計算した結果である $12\sqrt[3]{2}\sqrt{3}$ を回答とします。

3. 最終的な答え

$12 \sqrt[3]{2} \sqrt{3}$