90にできるだけ小さい自然数 $n$ をかけて、その結果がある自然数の2乗になるようにする。そのような $n$ を求めよ。選択肢は $n=5, n=8, n=10, n=20$。

1. 問題の内容

90にできるだけ小さい自然数 $n$ をかけて、その結果がある自然数の2乗になるようにする。そのような $n$ を求めよ。選択肢は $n=5, n=8, n=10, n=20$。

2. 解き方の手順

90を素因数分解する。

$90 = 2 \times 45 = 2 \times 3 \times 15 = 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2 \times 3^2 \times 5$

90に $n$ をかけた結果が、ある自然数の2乗になるためには、素因数分解した各素数の指数が偶数でなければならない。

$90 \times n = 2 \times 3^2 \times 5 \times n$

$3^2$ の指数は既に偶数なので、2と5の指数を偶数にする必要がある。

よって、$n = 2 \times 5 = 10$ とすれば、

$90 \times 10 = 2 \times 3^2 \times 5 \times (2 \times 5) = 2^2 \times 3^2 \times 5^2 = (2 \times 3 \times 5)^2 = 30^2 = 900$

900は30の2乗なので、条件を満たす。

他の選択肢の場合を検討する。

$n = 5$ のとき、$90 \times 5 = 2 \times 3^2 \times 5^2 = 450$。これはある整数の2乗ではない。

$n = 8$ のとき、$90 \times 8 = 2 \times 3^2 \times 5 \times 2^3 = 2^4 \times 3^2 \times 5 = 720$。これはある整数の2乗ではない。

$n = 20$ のとき、$90 \times 20 = 2 \times 3^2 \times 5 \times 2^2 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 = 1800$。これはある整数の2乗ではない。

したがって、$n=10$ が最も小さい自然数である。

3. 最終的な答え

$n=10$