与えられた数 $\sqrt[6]{243}$, $\sqrt[3]{81}$, $3$ の大小を不等号を用いて表す問題です。

1. 問題の内容

与えられた数 $\sqrt[6]{243}$, $\sqrt[3]{81}$, $3$ の大小を不等号を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの数を同じ指数を持つ累乗根の形に変形します。

$\sqrt[6]{243}$ はそのままにしておきます。

$\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{3^4} = (3^4)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{4}{3}} = 3^{\frac{8}{6}} = \sqrt[6]{3^8} = \sqrt[6]{6561}$

$3 = 3^1 = 3^{\frac{6}{6}} = \sqrt[6]{3^6} = \sqrt[6]{729}$

$\sqrt[6]{243}$, $\sqrt[6]{6561}$, $\sqrt[6]{729}$ の大小を比較します。

$243 < 729 < 6561$ なので、

$\sqrt[6]{243} < \sqrt[6]{729} < \sqrt[6]{6561}$

したがって、$\sqrt[6]{243} < 3 < \sqrt[3]{81}$

3. 最終的な答え

$\sqrt[6]{243} < 3 < \sqrt[3]{81}$