$\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{9}$, $\sqrt[4]{27}$ を小さい順に並べよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{9}$, $\sqrt[4]{27}$ を小さい順に並べよ。

2. 解き方の手順

これらの数を比較するためには、指数を統一する必要があります。

それぞれの数を指数で表すと、

$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{9} = 9^{\frac{1}{3}} = (3^2)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{2}{3}}$

$\sqrt[4]{27} = 27^{\frac{1}{4}} = (3^3)^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{3}{4}}$

指数の分母の最小公倍数は12なので、

$3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{6}{12}}$

$3^{\frac{2}{3}} = 3^{\frac{8}{12}}$

$3^{\frac{3}{4}} = 3^{\frac{9}{12}}$

したがって、

$\frac{6}{12} < \frac{8}{12} < \frac{9}{12}$ であるから、

$3^{\frac{6}{12}} < 3^{\frac{8}{12}} < 3^{\frac{9}{12}}$

よって、$\sqrt{3} < \sqrt[3]{9} < \sqrt[4]{27}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}, \sqrt[3]{9}, \sqrt[4]{27}$