与えられた7つの行列が簡約行列かどうかを判定し、簡約行列でない場合は簡約化せよ。

1. 問題の内容

与えられた7つの行列が簡約行列かどうかを判定し、簡約行列でない場合は簡約化せよ。

2. 解き方の手順

簡約行列の定義を確認する。簡約行列とは、以下の条件を満たす行列のことである。

* 零ベクトルでない行の先頭の成分は1である（これを主成分と呼ぶ）。

* 主成分を含む列において、その主成分以外の成分はすべて0である。

* 零ベクトルである行が存在するならば、零ベクトルでない行の下に集まっている。

* 各行の主成分の位置は、下の行に進むにつれて右に移動する。

各行列について、上記の条件を満たすかどうかを順に確認する。条件を満たさない場合は、基本変形（行の入れ替え、行の定数倍、ある行の定数倍を別の行に加える）を行って簡約化する。

(1)

$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3行目から2行目を引くと、

$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

1行目と2行目を入れ替えると、

$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

(2)

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

1行目から2行目の2倍を引くと、

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

(3)

$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3行目から2行目を引くと、

$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

(4)

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

2行目を1/2倍すると、

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

3行目から2行目を引くと、

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1/2 & 1 \end{bmatrix}$

3行目を2倍すると、

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

2行目から3行目の1/2倍を引くと、

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

(5)

$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

(6)

$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

1行目と2行目を入れ替えると、

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

(7)

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

2行目から1行目を引くと、

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

1行目に2行目を足すと、

$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

2行目を-1倍すると、

$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

1行目と2行目を入れ替えると、

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

(2) $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

(3) $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

(4) $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

(5) $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

(6) $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

(7) $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$