与えられた3x3行列の行列式を、行列式の基本性質を用いて求める。行列は次の通りです。 $ \begin{vmatrix} b+c & b & c \\ a & c+a & c \\ a & b & a+b \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた3x3行列の行列式を、行列式の基本性質を用いて求める。行列は次の通りです。

$\begin{vmatrix} b+c & b & c \\ a & c+a & c \\ a & b & a+b \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 1列目から2列目を引く。

$\begin{vmatrix} b+c-b & b & c \\ a-(c+a) & c+a & c \\ a-b & b & a+b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} c & b & c \\ -c & c+a & c \\ a-b & b & a+b \end{vmatrix}$

(2) 1列目を3列目から引く。

$\begin{vmatrix} c & b & c-c \\ -c & c+a & c-(-c) \\ a-b & b & a+b-(a-b) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} c & b & 0 \\ -c & c+a & 2c \\ a-b & b & 2b \end{vmatrix}$

(3) 3列目で展開する。

$0 \cdot C_{13} + 2c \cdot C_{23} + 2b \cdot C_{33}$

ここで、$C_{ij}$は$(i,j)$成分の余因子を表す。

したがって、

$2c \begin{vmatrix} c & b \\ a-b & b \end{vmatrix} + 2b \begin{vmatrix} c & b \\ -c & c+a \end{vmatrix} = 2c[cb - b(a-b)] + 2b[c(c+a) - b(-c)]$

$= 2c(cb - ab + b^2) + 2b(c^2 + ac + bc)$

$= 2c^2b - 2abc + 2cb^2 + 2bc^2 + 2abc + 2b^2c$

$= 4bc^2 + 4b^2c$

$= 4bc(c+b)$

$= 4bc(b+c)$

3. 最終的な答え

$4bc(b+c)$