3つのベクトル $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\mathbf{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、これらのベクトルが一次独立であるか、一次従属であるかを判定し、一次従属ならば、ベクトル $\mathbf{a}$ を他の2つのベクトル $\mathbf{b}$ と $\mathbf{c}$ の一次結合で表す。

1. 問題の内容

3つのベクトル $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\mathbf{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、これらのベクトルが一次独立であるか、一次従属であるかを判定し、一次従属ならば、ベクトル $\mathbf{a}$ を他の2つのベクトル $\mathbf{b}$ と $\mathbf{c}$ の一次結合で表す。

2. 解き方の手順

与えられた3つのベクトルが一次従属であるかどうかを調べるには、スカラー $x, y, z$ を用いて $x\mathbf{a} + y\mathbf{b} + z\mathbf{c} = \mathbf{0}$ となるような非自明な解（$x, y, z$ がすべて0ではない解）が存在するかどうかを調べればよい。

つまり、以下の連立一次方程式を解く。

$x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

この式は以下のように書き換えられる。

$\begin{cases}

x + 3y = 0 \\

2y - 4z = 0 \\

-2x - y + 3z = 0

\end{cases}$

第1式より $x = -3y$ が得られる。

第2式より $2y = 4z$, つまり $y = 2z$ が得られる。

これらの関係を第3式に代入すると、

$-2(-3y) - y + 3z = 6y - y + 3z = 5y + 3z = 0$

$y = 2z$ を代入すると、

$5(2z) + 3z = 10z + 3z = 13z = 0$

よって、$z = 0$ となる。

したがって、$y = 2z = 2(0) = 0$ であり、$x = -3y = -3(0) = 0$ である。

この結果は、$x = y = z = 0$ という自明な解しか存在しないことを意味するため、ベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ は一次独立である。

3. 最終的な答え

ベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ は一次独立である。