与えられた3つのベクトル $a = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$、 $b = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$、 $c = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}$ が一次独立か一次従属かを調べ、一次従属ならばベクトル $a$ を他のベクトルの一次結合で表す。

1. 問題の内容

与えられた3つのベクトル $a = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$、 $b = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$、 $c = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}$ が一次独立か一次従属かを調べ、一次従属ならばベクトル $a$ を他のベクトルの一次結合で表す。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル $a$, $b$, $c$ が一次独立であるか否かを判定するために、あるスカラー $x, y, z$ に対して

$xa + yb + zc = 0$

が成り立つかどうかを検討する。

すなわち、

$x\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

が成り立つかどうかを調べる。

これは次の連立一次方程式に対応する。

$x + 3y = 0$

$2y - 4z = 0$

$-2x - y + 3z = 0$

第2式より、$y = 2z$。

第1式に代入すると、$x + 3(2z) = 0$, つまり $x = -6z$。

これらを第3式に代入すると、

$-2(-6z) - (2z) + 3z = 0$

$12z - 2z + 3z = 0$

$13z = 0$

したがって、$z = 0$。

すると、$y = 2z = 0$、$x = -6z = 0$ となる。

$x = y = z = 0$ のときのみ $xa + yb + zc = 0$ が成り立つので、$a, b, c$ は一次独立である。

3. 最終的な答え

ベクトル $a, b, c$ は一次独立である。従って、$a$ を他のベクトルの1次結合で表すことはできない。