与えられた複数の行列が簡約行列かどうかを判定し、簡約行列でない場合は簡約化する。

1. 問題の内容

与えられた複数の行列が簡約行列かどうかを判定し、簡約行列でない場合は簡約化する。

2. 解き方の手順

簡約行列とは、以下の条件を満たす行列のことです。

* ゼロでない行は、ゼロの行の上に配置される。

* 各ゼロでない行の先頭のゼロでない要素（主成分）は1である。

* 各主成分は、その列の他のすべての要素が0である。

* 主成分は、上の行の主成分の右側にある。

各行列について、これらの条件を満たすかどうかを確認します。満たさない場合は、行基本変形を行って簡約化します。

(1)

$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

簡約行列ではありません。2行目と3行目が同じであるため、3行目から2行目を引くと、

$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

次に、1行目と2行目を入れ替えると、

$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

これが簡約行列です。

(2)

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

簡約行列ではありません。主成分の上にある要素が0でないからです。1行目から2行目の2倍を引くと、

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

これが簡約行列です。

(3)

$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

簡約行列ではありません。2行目と3行目が同じであるため、3行目から2行目を引くと、

$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

これが簡約行列です。

(4)

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

簡約行列ではありません。2行目の主成分が1でないため、2行目を1/2倍すると、

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

次に、2行目から3行目の1/2倍を引くと、

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1/2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

これが簡約行列です。

(5)

$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

簡約行列です。

(6)

$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

簡約行列ではありません。1行目と2行目を入れ替えると、

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

これが簡約行列です。

(7)

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

簡約行列ではありません。1行目から2行目を引くと、

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

これが簡約行列です。

3. 最終的な答え

(1) $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

(2) $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

(3) $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

(4) $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ は $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1/2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

(5) $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

(6) $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

(7) $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$