(1) 行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$ と行列 $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ が与えられている。$E$ は2行2列の単位行列であるとき、次の行列を求める。 ① $AEB$ ② $EAB$ ③ $ABE$ (2) 与えられた行列 $A$ と $B$ について、$AB$ と $BA$ を計算し、$AB=BA$ が成り立つかどうか調べる。 ① $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ ② $A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ ③ $A = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 8 \end{pmatrix}$ ④ $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 4 & -2 & 1 \\ -3 & 8 & -3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

(1) 行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$ と行列 $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ が与えられている。$E$ は2行2列の単位行列であるとき、次の行列を求める。

① $AEB$

② $EAB$

③ $ABE$

(2) 与えられた行列 $A$ と $B$ について、$AB$ と $BA$ を計算し、$AB=BA$ が成り立つかどうか調べる。

① $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

② $A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$

③ $A = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 8 \end{pmatrix}$

④ $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 4 & -2 & 1 \\ -3 & 8 & -3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) ① $AEB$: $E$ は単位行列なので、$AEB = AB$ となる。

$AB = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 3 + 1 \cdot 4 & 3 \cdot 1 + 1 \cdot 3 \\ 2 \cdot 3 + 5 \cdot 4 & 2 \cdot 1 + 5 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & 6 \\ 26 & 17 \end{pmatrix}$

② $EAB$: $E$ は単位行列なので、$EAB = AB$ となる。

$AB = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 3 + 1 \cdot 4 & 3 \cdot 1 + 1 \cdot 3 \\ 2 \cdot 3 + 5 \cdot 4 & 2 \cdot 1 + 5 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & 6 \\ 26 & 17 \end{pmatrix}$

③ $ABE$: $E$ は単位行列なので、$ABE = AB$ となる。

$AB = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 3 + 1 \cdot 4 & 3 \cdot 1 + 1 \cdot 3 \\ 2 \cdot 3 + 5 \cdot 4 & 2 \cdot 1 + 5 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & 6 \\ 26 & 17 \end{pmatrix}$

(2) ①

$AB = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 0 \cdot 2 & 2 \cdot 2 + 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 1 + 3 \cdot 2 & 0 \cdot 2 + 3 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 2 + 1 \cdot 0 & 2 \cdot 0 + 1 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$

$AB \neq BA$

②

$AB = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 + 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 + 2 \cdot 3 \\ -1 \cdot 3 + 2 \cdot 0 & -1 \cdot 0 + 2 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 6 \\ -3 & 6 \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 2 + 0 \cdot (-1) & 3 \cdot 2 + 0 \cdot 2 \\ 0 \cdot 2 + 3 \cdot (-1) & 0 \cdot 2 + 3 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 6 \\ -3 & 6 \end{pmatrix}$

$AB = BA$

③

$AB = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 1 & 3 \cdot 8 \\ 2 \cdot 1 & 2 \cdot 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 24 \\ 2 & 16 \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} 1 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = 1 \cdot 3 + 8 \cdot 2 = 19$

$AB$ は $2 \times 2$ 行列、$BA$ はスカラーなので、$AB \neq BA$

④

$AB = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 4 & -2 & 1 \\ -3 & 8 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 4 & -2 & 1 \\ -3 & 8 & -3 \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 4 & -2 & 1 \\ -3 & 8 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 4 & -2 & 1 \\ -3 & 8 & -3 \end{pmatrix}$

$AB = BA$

3. 最終的な答え

(1)

① $AEB = \begin{pmatrix} 13 & 6 \\ 26 & 17 \end{pmatrix}$

② $EAB = \begin{pmatrix} 13 & 6 \\ 26 & 17 \end{pmatrix}$

③ $ABE = \begin{pmatrix} 13 & 6 \\ 26 & 17 \end{pmatrix}$

(2)

① $AB \neq BA$

② $AB = BA$

③ $AB \neq BA$

④ $AB = BA$