以下の3つの問題を解きます。 (11) 放物線 $y = -x^2 - 6x + 8$ の頂点の座標を求めます。 (12) 2次不等式 $x^2 + x - 12 \leq 0$ を解きます。 (13) 円の弦AB, CDについて、PはAB, CDの交点です。$PA=6$, $AB=12$, $PC=7$のとき、$PD$を求めます。$PD$の長さを$x$とします。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

以下の3つの問題を解きます。

(11) 放物線 $y = -x^2 - 6x + 8$ の頂点の座標を求めます。

(12) 2次不等式 $x^2 + x - 12 \leq 0$ を解きます。

(13) 円の弦AB, CDについて、PはAB, CDの交点です。$PA=6$, $AB=12$, $PC=7$のとき、$PD$を求めます。$PD$の長さを$x$とします。

2. 解き方の手順

(11)

放物線を平方完成します。

$y = -x^2 - 6x + 8 = -(x^2 + 6x) + 8 = -(x^2 + 6x + 9 - 9) + 8 = -((x+3)^2 - 9) + 8 = -(x+3)^2 + 9 + 8 = -(x+3)^2 + 17$

よって、頂点の座標は$(-3, 17)$です。

(12)

2次不等式を解きます。

$x^2 + x - 12 \leq 0$

$(x+4)(x-3) \leq 0$

よって、$-4 \leq x \leq 3$です。

(13)

方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$です。

$PA = 6$であり、$AB = 12$なので、$PB = PA + AB = 6 + 12 = 18$です。

$PC = 7$であり、$PD = x$とおきます。

$6 \cdot 18 = 7 \cdot x$

$108 = 7x$

$x = \frac{108}{7}$

3. 最終的な答え

(11) 頂点の座標: $(-3, 17)$

(12) 解: $-4 \leq x \leq 3$

(13) $PD = \frac{108}{7}$