与えられた6つの方程式を解きます。

代数学方程式二次方程式三次方程式解の公式有理根定理代数
2025/7/27

1. 問題の内容

与えられた6つの方程式を解きます。

2. 解き方の手順

(1) 2x23x1=02x^2 - 3x - 1 = 0
これは二次方程式なので、解の公式 x=b±b24ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} を使います。
a=2,b=3,c=1a=2, b=-3, c=-1 なので、
x=3±(3)24(2)(1)2(2)x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)}
x=3±9+84x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4}
x=3±174x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}
(2) 3x24x+5=03x^2 - 4x + 5 = 0
これも二次方程式なので、解の公式を使います。
a=3,b=4,c=5a=3, b=-4, c=5 なので、
x=4±(4)24(3)(5)2(3)x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(5)}}{2(3)}
x=4±16606x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 60}}{6}
x=4±446x = \frac{4 \pm \sqrt{-44}}{6}
x=4±2i116x = \frac{4 \pm 2i\sqrt{11}}{6}
x=2±i113x = \frac{2 \pm i\sqrt{11}}{3}
(3) (x1)2+(x+2)2=0(x - 1)^2 + (x + 2)^2 = 0
(x22x+1)+(x2+4x+4)=0(x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 4x + 4) = 0
2x2+2x+5=02x^2 + 2x + 5 = 0
a=2,b=2,c=5a=2, b=2, c=5 なので、解の公式を使うと
x=2±224(2)(5)2(2)x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(2)(5)}}{2(2)}
x=2±4404x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 40}}{4}
x=2±364x = \frac{-2 \pm \sqrt{-36}}{4}
x=2±6i4x = \frac{-2 \pm 6i}{4}
x=1±3i2x = \frac{-1 \pm 3i}{2}
(4) 3x3x25x1=03x^3 - x^2 - 5x - 1 = 0
この三次方程式は、有理根定理などを使って解を見つけます。x=1x=-1 を代入すると、
3(1)3(1)25(1)1=31+51=03(-1)^3 - (-1)^2 - 5(-1) - 1 = -3 - 1 + 5 - 1 = 0
したがって、x=1x=-1 は解の一つです。
(x+1)(x+1) で割ると、
(3x3x25x1)/(x+1)=3x24x1(3x^3 - x^2 - 5x - 1) / (x+1) = 3x^2 - 4x - 1
3x24x1=03x^2 - 4x - 1 = 0 を解の公式で解くと
x=4±(4)24(3)(1)2(3)x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)}
x=4±16+126x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{6}
x=4±286x = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{6}
x=4±276x = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{6}
x=2±73x = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}
よって、x=1,2+73,273x = -1, \frac{2 + \sqrt{7}}{3}, \frac{2 - \sqrt{7}}{3}
(5) 1x11x3=2\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-3} = 2
(x3)(x1)(x1)(x3)=2\frac{(x-3) - (x-1)}{(x-1)(x-3)} = 2
2x24x+3=2\frac{-2}{x^2 - 4x + 3} = 2
2=2(x24x+3)-2 = 2(x^2 - 4x + 3)
1=x24x+3-1 = x^2 - 4x + 3
x24x+4=0x^2 - 4x + 4 = 0
(x2)2=0(x - 2)^2 = 0
x=2x = 2
(6) 72x=x2\sqrt{7 - 2x} = x - 2
両辺を二乗すると
72x=(x2)27 - 2x = (x - 2)^2
72x=x24x+47 - 2x = x^2 - 4x + 4
0=x22x30 = x^2 - 2x - 3
0=(x3)(x+1)0 = (x - 3)(x + 1)
x=3,1x = 3, -1
x=3x=3を代入すると72(3)=1=1\sqrt{7 - 2(3)} = \sqrt{1} = 1 であり、32=13 - 2 = 1なので、x=3x=3は解です。
x=1x=-1を代入すると72(1)=9=3\sqrt{7 - 2(-1)} = \sqrt{9} = 3 であり、12=3-1 - 2 = -3なので、x=1x=-1は解ではありません。

3. 最終的な答え

(1) x=3±174x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}
(2) x=2±i113x = \frac{2 \pm i\sqrt{11}}{3}
(3) x=1±3i2x = \frac{-1 \pm 3i}{2}
(4) x=1,2+73,273x = -1, \frac{2 + \sqrt{7}}{3}, \frac{2 - \sqrt{7}}{3}
(5) x=2x = 2
(6) x=3x = 3