## 回答

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1. 問題の内容

与えられた複数の式を因数分解する問題です。具体的には以下の式を因数分解します。

(1) $(x+y)^2 + 3(x+y) - 54$

(2) $x^4 + 5x^2 - 6$

(3) $a^2 + c^2 - ab - bc + 2ac$

(4) $x^2 + 2xy + y^2 - x - y - 6$

(7) $2x^2 + 5xy - 3y^2$

(8) $4x^2 - 8xy + 3y^2$

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2. 解き方の手順

それぞれの式について、因数分解の手順を説明します。

(1) $(x+y)^2 + 3(x+y) - 54$

* $A = x+y$ と置換します。

* すると、$A^2 + 3A - 54$ となります。

* これは、$A^2 + 3A - 54 = (A+9)(A-6)$ と因数分解できます。

* $A$ を $x+y$ に戻すと、$(x+y+9)(x+y-6)$ となります。

(2) $x^4 + 5x^2 - 6$

* $B = x^2$ と置換します。

* すると、$B^2 + 5B - 6$ となります。

* これは、$B^2 + 5B - 6 = (B+6)(B-1)$ と因数分解できます。

* $B$ を $x^2$ に戻すと、$(x^2+6)(x^2-1)$ となります。

* $x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$ なので、$(x^2+6)(x+1)(x-1)$ となります。

(3) $a^2 + c^2 - ab - bc + 2ac$

* $a, c$ についての2次式と見て整理します。$a^2 + (2c - b)a + (c^2 - bc)$

* $a$ についての平方完成を試みます。$(a + c - b/2)^2 - (c - b/2)^2 + c^2 - bc = (a + c - b/2)^2 - c^2 + bc - b^2/4 + c^2 - bc = (a + c - b/2)^2 -b^2/4 = (a + c - b/2)^2 - (b/2)^2$

* $=(a+c-b/2 +b/2)(a+c-b/2-b/2) = (a+c)(a+c-b)$

(4) $x^2 + 2xy + y^2 - x - y - 6$

* $(x+y)^2 - (x+y) - 6$ と変形します。

* $C = x+y$ と置換します。

* すると、$C^2 - C - 6$ となります。

* これは、$C^2 - C - 6 = (C-3)(C+2)$ と因数分解できます。

* $C$ を $x+y$ に戻すと、$(x+y-3)(x+y+2)$ となります。

(7) $2x^2 + 5xy - 3y^2$

* たすき掛けを用いて因数分解します。

* $2x^2 + 5xy - 3y^2 = (2x - y)(x + 3y)$

(8) $4x^2 - 8xy + 3y^2$

* たすき掛けを用いて因数分解します。

* $4x^2 - 8xy + 3y^2 = (2x - y)(2x - 3y)$

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3. 最終的な答え

(1) $(x+y+9)(x+y-6)$

(2) $(x^2+6)(x+1)(x-1)$

(3) $(a+c)(a+c-b)$

(4) $(x+y-3)(x+y+2)$

(7) $(2x - y)(x + 3y)$

(8) $(2x - y)(2x - 3y)$