$\sum_{k=1}^{n} 4^k$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} 4^k$ を求めよ。

2. 解き方の手順

これは等比数列の和の公式を利用して解くことができます。

$\sum_{k=1}^{n} 4^k$ は、初項 $4$, 公比 $4$, 項数 $n$ の等比数列の和です。等比数列の和の公式は次のようになります。

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

ここで、$S_n$ は和、$a$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項数です。

この問題では、$a = 4$, $r = 4$ なので、これを代入すると、

$S_n = \frac{4(4^n - 1)}{4 - 1}$

$S_n = \frac{4(4^n - 1)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4(4^n - 1)}{3}$