$\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k-5)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k-5)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$(k-1)(k-5)$ を展開します。

$(k-1)(k-5) = k^2 - 6k + 5$

次に、$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 6k + 5)$ を計算します。

$\sum$ の線形性より、

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 6k + 5) = \sum_{k=1}^{n} k^2 - 6\sum_{k=1}^{n} k + 5\sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらの公式を代入すると、

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 6k + 5) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 6\frac{n(n+1)}{2} + 5n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 3n(n+1) + 5n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1) - 18n(n+1) + 30n}{6}$

$= \frac{n[(n+1)(2n+1) - 18(n+1) + 30]}{6}$

$= \frac{n[2n^2 + 3n + 1 - 18n - 18 + 30]}{6}$

$= \frac{n[2n^2 - 15n + 13]}{6}$

$= \frac{2n^3 - 15n^2 + 13n}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{2n^3 - 15n^2 + 13n}{6}$