問題は、以下の2つの行列の行列式を求めることです。 * 行列 $A_n$: 対角成分が $x$ で、それ以外の成分が $1$ の $n \times n$ 行列。 * 行列 $B_n$: (1,1)成分以外の対角成分が $x$ で、それ以外の成分が $1$ の $n \times n$ 行列。 画像では、$x = 1 + 1 + \cdots + 1$ (1が$n$個) と分解し、多重線形性を用いて行列式を計算しようとしています。そして、$det(A_n) = x \cdot det(B_n)$ 、さらに$det(B_n) = (x-1)^n$になると結論づけていますが、この部分に誤りがあると指摘されています。

はい、承知いたしました。画像に書かれた問題とその解法について、どこに誤りがあるか指摘します。

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの行列の行列式を求めることです。

* 行列 $A_n$: 対角成分が $x$ で、それ以外の成分が $1$ の $n \times n$ 行列。

* 行列 $B_n$: (1,1)成分以外の対角成分が $x$ で、それ以外の成分が $1$ の $n \times n$ 行列。

画像では、$x = 1 + 1 + \cdots + 1$ (1が$n$個) と分解し、多重線形性を用いて行列式を計算しようとしています。そして、$det(A_n) = x \cdot det(B_n)$ 、さらに$det(B_n) = (x-1)^n$になると結論づけていますが、この部分に誤りがあると指摘されています。

2. 解き方の手順

まず、$A_n$の行列式を直接計算します。$A_n$ の第1行から第2行, 第3行, ..., 第n行を引くことを考えます。すると、第1行は ($x-1, x-1, ..., x-1$) となります。それ以外の行は、対角成分が $x-1$ でそれ以外が $0$ の対角行列になります。

したがって、$A_n$の行列式は、

$det(A_n) = (x-1) \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & x & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & x \end{vmatrix}$

ここで、第1行を2行目以降から引くと、

$det(A_n) = (x-1) \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & x-1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & x-1 \end{vmatrix}$

さらに変形して

$det(A_n) = (x-1) [1 \cdot (x-1)^{n-1} ] = (x-1)^n$

ここで、元の行列$A_n$に話を戻します。

別の方法として、

$A_n = (x-1)I + J$と表せることを利用します。ここで、$I$は単位行列、$J$は全ての成分が1の行列です。$J$の固有値は $n$ (重複度1) と $0$ (重複度 $n-1$) なので、$A_n$ の固有値は $x-1+n$ (重複度1) と $x-1$ (重複度 $n-1$) です。したがって、$A_n$ の行列式は固有値の積として計算でき、

$det(A_n) = (x-1+n)(x-1)^{n-1}$

次に、$det(B_n)$ の計算について考えます。

$det(B_n)$を求めるために、$A_n$の多重線形性を利用することを考えます。$A_n$の(1,1)成分を $x$ から $1+1+\cdots+1$（1が$n$個）と分解します。しかし、これは$A_n$の多重線形性を使うことにはつながりません。$A_n$の計算をする際に(1,1)成分を分解しても、計算が複雑になるだけで、$B_n$を利用するメリットはありません。

したがって、画像中の「$det(A_n) = x \cdot det(B_n)$ 」が誤りです。また、「$B_n$の1行目で各行全て引くと $det(B_n) = (x-1)^n$」も誤りです。正しくは $A_n = B_n$ ではありません。

3. 最終的な答え

$det(A_n) = (x-1+n)(x-1)^{n-1}$

画像中の誤りは、$det(A_n) = x \cdot det(B_n)$ という関係式と、$det(B_n) = (x-1)^n$ という計算結果です。$det(A_n) = (x-1+n)(x-1)^{n-1}$ となります。