問題１：図のような三角形ABCにおいて、以下のものを求めます。 (1) $\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値 (2) 線分AD, CDの長さ 問題２：$\theta$ は鋭角とします。 (1) $\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{13}}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。 (2) $\tan \theta = \frac{\sqrt{5}}{2}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題１：図のような三角形ABCにおいて、以下のものを求めます。

(1) $\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値

(2) 線分AD, CDの長さ

問題２：$\theta$ は鋭角とします。

(1) $\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{13}}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

(2) $\tan \theta = \frac{\sqrt{5}}{2}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

問題1：

(1) まず、$\triangle ADC$ に注目すると、$\angle C = 90^{\circ}$、$\angle ADC = 60^{\circ}$ なので、$\angle DAC = 30^{\circ}$ となります。

$\triangle ADC$ は、30°, 60°, 90°の直角三角形であるため、$AD:CD:AC = 2: \sqrt{3}:1$ となります。

$CD = 3$ であるので、$AD = \frac{2}{\sqrt{3}} \times 3 = 2\sqrt{3}$, $AC = \frac{1}{\sqrt{3}} \times 3 = \sqrt{3}$となります。

次に、$\triangle ABC$ に注目すると、$AB = 4$, $AC = \sqrt{3}$ であるので、三平方の定理より、$BC = \sqrt{4^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 - 3} = \sqrt{13}$ となります。

したがって、$\sin \theta = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{4}$, $\cos \theta = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{13}}{4}$, $\tan \theta = \frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{39}}{13}$

(2) (1)で求めた値より、$AD = 2\sqrt{3}$, $CD = 3$

問題2：

(1) $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ の関係を用いる。

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)^2 = 1 - \frac{4}{13} = \frac{9}{13}$

$\theta$ は鋭角なので、$\cos \theta > 0$ であるから、$\cos \theta = \sqrt{\frac{9}{13}} = \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{13}}{13}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{2/\sqrt{13}}{3/\sqrt{13}} = \frac{2}{3}$

(2) $\tan \theta = \frac{\sqrt{5}}{2}$のとき、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$であるから、$\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{2} \cos \theta$と表せる。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$に代入して、$\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \cos \theta\right)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{5}{4} \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{9}{4} \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{4}{9}$

$\theta$ は鋭角なので、$\cos \theta > 0$ であるから、$\cos \theta = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{2} \cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

3. 最終的な答え

問題1：

(1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{4}$, $\cos \theta = \frac{\sqrt{13}}{4}$, $\tan \theta = \frac{\sqrt{39}}{13}$

(2) $AD = 2\sqrt{3}$, $CD = 3$

問題2：

(1) $\cos \theta = \frac{3\sqrt{13}}{13}$, $\tan \theta = \frac{2}{3}$

(2) $\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$, $\cos \theta = \frac{2}{3}$