$PA \times PB = PC \times PD$

はい、承知いたしました。問題文から、4番と5番の問題を解きます。

**

4. 問題の内容**

円周上に4点A, B, C, Dがあり、直線AB, CDの交点をPとする。PA = 10, PB = 4, PC = 5であるとき、CDの長さを求める。

**

2. 解き方の手順**

1. 方べきの定理を利用します。点Pから円への2本の割線PAとPCに対して、以下の関係が成り立ちます。

$PA \times PB = PC \times PD$

2. 与えられた値を代入してPDを計算します。

$10 \times 4 = 5 \times PD$

$PD = \frac{10 \times 4}{5} = 8$

3. CDの長さを求めます。CD = PD - PCであるから、

$CD = 8 - 5 = 3$

**

3. 最終的な答え**

CD = 3

**

5. 問題の内容**

円の外部の点Pから円に引いた接線の接点をTとし、点Pを通る直線と円との交点をA、Bとする。PA = AB = 6であるとき、PTの長さを求める。

**

2. 解き方の手順**

1. 方べきの定理を利用します。点Pから円への接線PTと割線PABに対して、以下の関係が成り立ちます。

$PT^2 = PA \times PB$

2. PBの長さを求めます。PB = PA + AB = 6 + 6 = 12

3. 与えられた値を代入してPTを計算します。

$PT^2 = 6 \times 12 = 72$

$PT = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$

**

3. 最終的な答え**

$PT = 6\sqrt{2}$