## 解答

## 解答

###

1. 問題の内容

(1) $\angle BAC = 54^\circ$, $\angle ABC = 58^\circ$ の $\triangle ABC$ の内心を $I$ とし、直線 $AI$ と辺 $BC$ との交点を $D$ とするとき、$\angle BID$ を求める問題です。

(2) $AB=5$, $BC=6$, $CA=4$ の $\triangle ABC$ の内心を $I$ とし、直線 $AI$ と辺 $BC$ との交点を $D$ とするとき、$AI:ID$ を最も簡単な整数比で表す問題です。

(3) 3点 $P, Q, R$ が一直線上にあるとき、$CQ$ を求める問題です。$AR=2$, $RB=4$, $BP=3$, $PC=5$です。

(4) 円周上に4点 $A, B, C, D$ があり、直線 $AB$, $CD$ の交点を $P$ とします。$PA=10$, $PB=4$, $PC=5$ であるとき、$CD$ を求める問題です。

###

2. 解き方の手順

(1)

1. $\triangle ABC$ において、内角の和は $180^\circ$ なので、$\angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC = 180^\circ - 54^\circ - 58^\circ = 68^\circ$。

2. $I$ は内心なので、$AI$ は $\angle BAC$ の二等分線、$BI$ は $\angle ABC$ の二等分線。よって、$\angle BAI = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \times 54^\circ = 27^\circ$、$\angle ABI = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \times 58^\circ = 29^\circ$。

3. $\triangle ABI$ において、$\angle AIB = 180^\circ - \angle BAI - \angle ABI = 180^\circ - 27^\circ - 29^\circ = 124^\circ$。

4. $\triangle ABD$ で、$\angle ADB = 180^\circ - \angle BAD - \angle ABD = 180^\circ - 54^\circ - 58^\circ = 68^\circ$。

5. $\angle BID = \angle ABI + \angle BAI = 29^\circ + 54^\circ/2 = 29 + 27 = 56$. また、$\angle BID = 180^\circ - \angle AIB = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$。

6. したがって、$\angle BID = 180^\circ - \angle IBD - \angle IDB = 180^\circ - 58^\circ / 2 - \angle ADC = 180 - 29 - (180 - 54 - 58) = 180 - 29 - 68 = 83$.

7. $\angle BID = 180 - (58/2 + 54) = 56+29 = 83^\circ$. よって、$\angle BID = 83^\circ$

(2)

1. メネラウスの定理より、$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$. ここで、$AP$ は $\angle A$ の二等分線なので、$BD:DC = AB:AC = 5:4$. よって、$\frac{BD}{DC} = \frac{5}{4}$.

2. AI:ID を求める．$AD$ は $\angle A$ の二等分線なので、$\frac{AI}{ID}=\frac{AB+AC}{BC}=\frac{5+4}{6}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$ となる。

3. したがって、$AI:ID = 3:2$

(3)

1. メネラウスの定理より、$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$.

2. $\frac{2}{4} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{CQ}{3-CQ} = 1$.

3. $\frac{6}{20} \cdot \frac{CQ}{3-CQ} = 1$.

4. $6CQ = 20(3-CQ)$.

5. $6CQ = 60 - 20CQ$.

6. $26CQ = 60$.

7. $CQ = \frac{60}{26} = \frac{30}{13}$.

(4)

1. 方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$.

2. $10 \cdot 4 = 5 \cdot PD$.

3. $40 = 5PD$.

4. $PD = 8$.

5. $CD = PD - PC = 8 - 5 = 3$.

###

3. 最終的な答え

(1) $\angle BID = 83^\circ$

(2) $AI:ID = 3:2$

(3) $CQ = \frac{30}{13}$

(4) $CD = 3$