円に内接する四角形ABCDがあり、点Cを接点とする接線EFがある。ACとBDの交点をGとする。AB=4, AD=3, $\angle ECB = \angle FCD = 45^\circ$である。 (1) 線分BDの長さを求めよ。 (2) $\triangle ABD$の内接円の半径を求めよ。 (3) 線分BGの長さを求めよ。また、線分AGの長さを求めよ。

はい、承知いたしました。問題文と解答を以下に示します。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDがあり、点Cを接点とする接線EFがある。ACとBDの交点をGとする。AB=4, AD=3, $\angle ECB = \angle FCD = 45^\circ$である。

(1) 線分BDの長さを求めよ。

(2) $\triangle ABD$の内接円の半径を求めよ。

(3) 線分BGの長さを求めよ。また、線分AGの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分BDの長さを求める。

$\angle ECB = 45^\circ$より、円周角の定理より、$\angle CAB = \angle CDB = 45^\circ$

$\angle FCD = 45^\circ$より、円周角の定理より、$\angle CAD = \angle CBD = 45^\circ$

$\triangle ABD$において、余弦定理を用いる。

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle BAD)$

$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$

$BD^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos(90^\circ) = 16 + 9 - 0 = 25$

$BD = 5$

(2) $\triangle ABD$の内接円の半径を求める。

$\triangle ABD$の面積をSとする。

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$

内接円の半径をrとする。

$S = \frac{1}{2} r (AB + AD + BD)$

$6 = \frac{1}{2} r (4 + 3 + 5) = \frac{1}{2} r \cdot 12 = 6r$

$r = 1$

(3) 線分BGの長さと線分AGの長さを求める。

$\angle CAB = \angle CDB = 45^\circ$

$\angle CAD = \angle CBD = 45^\circ$

$\triangle ABG$において、$\angle BAG = 45^\circ$

$\triangle ADG$において、$\angle DAG = 45^\circ$

$\angle ABG = \angle CBD = 45^\circ$

$\angle ADG = \angle CAB = 45^\circ$

$\triangle ABG$は$\angle BAG = \angle ABG = 45^\circ$の二等辺三角形なので、$AG = BG$である。

$\triangle ABG$と$\triangle CDG$は相似である。（$\angle AGB = \angle CGD$, $\angle BAG = \angle DCG$, $\angle ABG = \angle CDG$）

$\triangle ADG$と$\triangle CBG$は相似である。（$\angle AGD = \angle CGB$, $\angle DAG = \angle BCG$, $\angle ADG = \angle CBG$）

$\triangle ABG$において、正弦定理を用いる。

$\frac{AG}{\sin(\angle ABG)} = \frac{AB}{\sin(\angle AGB)}$

$\angle AGB = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ$

$\frac{AG}{\sin(45^\circ)} = \frac{4}{\sin(90^\circ)}$

$AG = 4 \cdot \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

したがって、$BG = AG = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) BD = 5

(2) 内接円の半径 = 1

(3) BG = $2\sqrt{2}$, AG = $2\sqrt{2}$