$\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{9}$, $\sqrt[4]{27}$ を小さい順に並べよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{9}$, $\sqrt[4]{27}$ を小さい順に並べよ。

2. 解き方の手順

これらの数を比較するために、すべてを同じ指数に変換します。

最小公倍数（LCM）を使用して、指数を共通にしましょう。指数の3つは2、3、4なので、それらのLCMは12です。したがって、すべての根を12乗根に変換します。

$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{6}{12}} = \sqrt[12]{3^6} = \sqrt[12]{729}$

$\sqrt[3]{9} = 9^{\frac{1}{3}} = 9^{\frac{4}{12}} = \sqrt[12]{9^4} = \sqrt[12]{(3^2)^4} = \sqrt[12]{3^8} = \sqrt[12]{6561}$

$\sqrt[4]{27} = 27^{\frac{1}{4}} = 27^{\frac{3}{12}} = \sqrt[12]{27^3} = \sqrt[12]{(3^3)^3} = \sqrt[12]{3^9} = \sqrt[12]{19683}$

これで、$\sqrt[12]{729}$, $\sqrt[12]{6561}$, $\sqrt[12]{19683}$の大小を比較できます。

根の中身だけを比較すると、次のようになります。

$729 < 6561 < 19683$

したがって、

$\sqrt[12]{729} < \sqrt[12]{6561} < \sqrt[12]{19683}$

これは、元の形で、次のようになります。

$\sqrt{3} < \sqrt[3]{9} < \sqrt[4]{27}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}, \sqrt[3]{9}, \sqrt[4]{27}$