曲線 $y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - \frac{1}{2}x + 2$ について、$x=1$ の点における法線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - \frac{1}{2}x + 2$ について、$x=1$ の点における法線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x=1$ における $y$ の値を求める。

$y = \frac{1}{3}(1)^3 - (1)^2 - \frac{1}{2}(1) + 2 = \frac{1}{3} - 1 - \frac{1}{2} + 2 = \frac{2 - 6 - 3 + 12}{6} = \frac{5}{6}$

よって、接点の座標は $(1, \frac{5}{6})$ である。

次に、$y$ を $x$ で微分して、導関数 $y'$ を求める。

$y' = \frac{d}{dx}(\frac{1}{3}x^3 - x^2 - \frac{1}{2}x + 2) = x^2 - 2x - \frac{1}{2}$

$x=1$ における $y'$ の値を求める。これは接線の傾きに相当する。

$y'|_{x=1} = (1)^2 - 2(1) - \frac{1}{2} = 1 - 2 - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$

法線の傾きは、接線の傾きの逆数の符号を反転させたものであるから、

法線の傾き $= - \frac{1}{-\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$

法線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で与えられる。ここで $(x_1, y_1) = (1, \frac{5}{6})$ であり、$m = \frac{2}{3}$ である。

$y - \frac{5}{6} = \frac{2}{3}(x - 1)$

$y = \frac{2}{3}x - \frac{2}{3} + \frac{5}{6}$

$y = \frac{2}{3}x + \frac{-4 + 5}{6}$

$y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

$y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{6}$