関数 $y = -x^2 + x - 1$ について、$x = -1$ の点における法線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + x - 1$ について、$x = -1$ の点における法線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

ステップ1: $x = -1$ のときの $y$ の値を計算します。

$y = -(-1)^2 + (-1) - 1 = -1 - 1 - 1 = -3$

したがって、点 $(-1, -3)$ における法線を求めます。

ステップ2: 導関数 $y'$ を計算します。

$y' = \frac{dy}{dx} = -2x + 1$

ステップ3: $x = -1$ における導関数の値を計算します。これは接線の傾きになります。

$y'(-1) = -2(-1) + 1 = 2 + 1 = 3$

したがって、接線の傾きは3です。

ステップ4: 法線の傾きを計算します。法線は接線に垂直なので、法線の傾きは接線の傾きの逆数の符号を反転したものになります。

法線の傾き $= -\frac{1}{3}$

ステップ5: 点 $(-1, -3)$ を通り、傾きが $-\frac{1}{3}$ の直線の方程式を求めます。

直線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で表されます。ここで、$(x_1, y_1) = (-1, -3)$ であり、$m = -\frac{1}{3}$ です。

$y - (-3) = -\frac{1}{3}(x - (-1))$

$y + 3 = -\frac{1}{3}(x + 1)$

$y + 3 = -\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}$

$y = -\frac{1}{3}x - \frac{1}{3} - 3$

$y = -\frac{1}{3}x - \frac{1}{3} - \frac{9}{3}$

$y = -\frac{1}{3}x - \frac{10}{3}$

3. 最終的な答え

法線の方程式は $y = -\frac{1}{3}x - \frac{10}{3}$ です。