関数 $y = 2x^3 - x^2 + 3x - 1$ について、$x = 1$ の点における接線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^3 - x^2 + 3x - 1$ について、$x = 1$ の点における接線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

1. まず、$x=1$ のときの $y$ の値を求めます。

$y = 2(1)^3 - (1)^2 + 3(1) - 1 = 2 - 1 + 3 - 1 = 3$

2. 次に、与えられた関数を微分して、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = \frac{dy}{dx} = 6x^2 - 2x + 3$

3. $x = 1$ における導関数の値 (接線の傾き) を求めます。

$y'(1) = 6(1)^2 - 2(1) + 3 = 6 - 2 + 3 = 7$

4. 接線の傾き $m = 7$ と、接点の座標 $(1, 3)$ がわかったので、接線の方程式を求めます。接線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で表されます。ここで $(x_1, y_1) = (1, 3)$ であり、$m = 7$ です。

$y - 3 = 7(x - 1)$

$y - 3 = 7x - 7$

$y = 7x - 4$

3. 最終的な答え

求める接線の方程式は、$y = 7x - 4$ です。