(1) $n$ を0以上の整数とし、$I_n = \int_0^{\pi/2} \cos^n \theta \, d\theta$ とおく。部分積分を用いて $I_n$ と $I_{n-2}$ の間の漸化式を求め、$I_n$ の値を求めよ。 (2) 自然数 $n$ に対し、不等式 $\int_0^1 (1-x^2)^n dx \le \int_0^1 e^{-nx^2} dx \le \int_0^1 \frac{dx}{(1+x^2)^n}$ が成り立つことを示せ。 (3) (2)の右辺の定積分の上端1を $\infty$ に代えた不等式 $\int_0^1 (1-x^2)^n dx \le \int_0^1 e^{-nx^2} dx \le \int_0^\infty \frac{dx}{(1+x^2)^n}$ が成り立つ。この不等式の左辺と右辺の値を $I_m$ の形で表せ。 (4) (1)と(3)の結果を利用して、$\int_0^\infty e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ を示せ。ただし、ウォリスの公式 $\pi = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \frac{(2n)!!}{(2n-1)!!} \right)^2$ は証明なしで使ってよい。

1. 問題の内容

(1) $n$ を0以上の整数とし、$I_n = \int_0^{\pi/2} \cos^n \theta \, d\theta$ とおく。部分積分を用いて $I_n$ と $I_{n-2}$ の間の漸化式を求め、$I_n$ の値を求めよ。

(2) 自然数 $n$ に対し、不等式 $\int_0^1 (1-x^2)^n dx \le \int_0^1 e^{-nx^2} dx \le \int_0^1 \frac{dx}{(1+x^2)^n}$ が成り立つことを示せ。

(3) (2)の右辺の定積分の上端1を $\infty$ に代えた不等式 $\int_0^1 (1-x^2)^n dx \le \int_0^1 e^{-nx^2} dx \le \int_0^\infty \frac{dx}{(1+x^2)^n}$ が成り立つ。この不等式の左辺と右辺の値を $I_m$ の形で表せ。

(4) (1)と(3)の結果を利用して、$\int_0^\infty e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ を示せ。ただし、ウォリスの公式 $\pi = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \frac{(2n)!!}{(2n-1)!!} \right)^2$ は証明なしで使ってよい。

2. 解き方の手順

(1) 部分積分を用いて $I_n$ と $I_{n-2}$ の漸化式を求める。

$I_n = \int_0^{\pi/2} \cos^n \theta \, d\theta = \int_0^{\pi/2} \cos^{n-1} \theta \cos \theta \, d\theta$

$= \left[ \cos^{n-1} \theta \sin \theta \right]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} (n-1) \cos^{n-2} \theta (-\sin \theta) \sin \theta \, d\theta$

$= 0 + (n-1) \int_0^{\pi/2} \cos^{n-2} \theta \sin^2 \theta \, d\theta = (n-1) \int_0^{\pi/2} \cos^{n-2} \theta (1 - \cos^2 \theta) \, d\theta$

$= (n-1) \int_0^{\pi/2} \cos^{n-2} \theta \, d\theta - (n-1) \int_0^{\pi/2} \cos^n \theta \, d\theta = (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n$

したがって、$I_n = (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n$ より $I_n + (n-1) I_n = (n-1) I_{n-2}$

$n I_n = (n-1) I_{n-2}$

$I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}$ (漸化式)

$I_0 = \int_0^{\pi/2} 1 \, d\theta = \frac{\pi}{2}$

$I_1 = \int_0^{\pi/2} \cos \theta \, d\theta = [\sin \theta]_0^{\pi/2} = 1$

$n$ が偶数のとき $n = 2k$ とおくと

$I_{2k} = \frac{2k-1}{2k} I_{2k-2} = \frac{2k-1}{2k} \frac{2k-3}{2k-2} \cdots \frac{1}{2} I_0 = \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \frac{\pi}{2}$

$n$ が奇数のとき $n = 2k+1$ とおくと

$I_{2k+1} = \frac{2k}{2k+1} I_{2k-1} = \frac{2k}{2k+1} \frac{2k-2}{2k-1} \cdots \frac{2}{3} I_1 = \frac{(2k)!!}{(2k+1)!!}$

(2) $0 \le x \le 1$ において $1 - x^2 \le e^{-x^2}$ であるから $(1-x^2)^n \le (e^{-x^2})^n = e^{-nx^2}$。積分区間が同じなので、$\int_0^1 (1-x^2)^n dx \le \int_0^1 e^{-nx^2} dx$。

$e^{-x^2} \le \frac{1}{1+x^2}$ であるから $e^{-nx^2} \le \frac{1}{(1+x^2)^n}$。したがって、$\int_0^1 e^{-nx^2} dx \le \int_0^1 \frac{dx}{(1+x^2)^n}$。

(3) (2)の不等式において積分区間を $[0,1]$ から $[0,\infty]$ に拡張すると $\int_0^1 (1-x^2)^n dx \le \int_0^1 e^{-nx^2} dx \le \int_0^\infty \frac{dx}{(1+x^2)^n}$ が成り立つ。

左辺: $\int_0^1 (1-x^2)^n dx$ において $x = \sin \theta$ と置換すると $dx = \cos \theta \, d\theta$。

$\int_0^1 (1-x^2)^n dx = \int_0^{\pi/2} (1-\sin^2 \theta)^n \cos \theta \, d\theta = \int_0^{\pi/2} \cos^{2n} \theta \cos \theta \, d\theta = \int_0^{\pi/2} \cos^{2n+1} \theta \, d\theta = I_{2n+1} = \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$

右辺: $\int_0^\infty \frac{dx}{(1+x^2)^n}$ において $x = \tan \theta$ と置換すると $dx = \sec^2 \theta \, d\theta$。

$\int_0^\infty \frac{dx}{(1+x^2)^n} = \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 \theta \, d\theta}{(1+\tan^2 \theta)^n} = \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 \theta \, d\theta}{(\sec^2 \theta)^n} = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{\sec^{2n-2} \theta} \, d\theta = \int_0^{\pi/2} \cos^{2n-2} \theta \, d\theta = I_{2n-2}$

(4) (3)より $\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} \le \int_0^1 e^{-nx^2} dx \le I_{2n-2}$.

$\int_0^1 e^{-nx^2} dx$ において $t = \sqrt{n} x$ と置換すると $x = \frac{t}{\sqrt{n}}$, $dx = \frac{dt}{\sqrt{n}}$。

$\int_0^1 e^{-nx^2} dx = \int_0^{\sqrt{n}} e^{-t^2} \frac{dt}{\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}} \int_0^{\sqrt{n}} e^{-t^2} dt$

したがって $\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} \le \frac{1}{\sqrt{n}} \int_0^{\sqrt{n}} e^{-t^2} dt \le \frac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!} \frac{\pi}{2}$

$\lim_{n \to \infty} \int_0^{\sqrt{n}} e^{-t^2} dt = \int_0^\infty e^{-t^2} dt$ であるから $n \to \infty$ で挟み撃ちの原理を使う。

ウォリスの公式 $\pi = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \frac{(2n)!!}{(2n-1)!!} \right)^2$ より $\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!} \sim \sqrt{n \pi}$

$\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} = \frac{(2n)!!}{(2n-1)!!} \frac{1}{2n+1} \sim \frac{\sqrt{n \pi}}{2n+1} \sim \frac{\sqrt{\pi}}{2 \sqrt{n}}$

$\frac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!} = \frac{(2n-3)!!}{(2n-1)!!} \frac{2n}{1} \sim \frac{1}{\sqrt{\pi (n-1)}} \sim \frac{1}{\sqrt{n \pi}}$

$\frac{\sqrt{\pi}}{2 \sqrt{n}} \le \frac{1}{\sqrt{n}} \int_0^\infty e^{-t^2} dt \le \frac{1}{\sqrt{n \pi}} \frac{\pi}{2} = \frac{\sqrt{\pi}}{2 \sqrt{n}}$. よって $\frac{\sqrt{\pi}}{2 \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}} \int_0^\infty e^{-t^2} dt$ より $\int_0^\infty e^{-t^2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) $I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}$

$I_n = \frac{(n-1)!!}{n!!} \frac{\pi}{2}$ (nが偶数のとき)

$I_n = \frac{(n-1)!!}{n!!}$ (nが奇数のとき)

(3) 左辺: $\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$

右辺: $I_{2n-2}$

(4) $\int_0^\infty e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$