$k$ を正の定数とする。以下の3つの関数について、それぞれの導関数を求める問題です。 (1) $\sinh kx$ (2) $\cosh kx$ (3) $\tanh kx$

1. 問題の内容

$k$ を正の定数とする。以下の3つの関数について、それぞれの導関数を求める問題です。

(1) $\sinh kx$

(2) $\cosh kx$

(3) $\tanh kx$

2. 解き方の手順

(1) $\sinh kx$ の導関数

$\sinh x$ の導関数は $\cosh x$ です。合成関数の微分公式を用いると、

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\frac{d}{dx} \sinh kx = (\cosh kx) \cdot \frac{d}{dx}(kx) = k \cosh kx

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(2) $\cosh kx$ の導関数

$\cosh x$ の導関数は $\sinh x$ です。合成関数の微分公式を用いると、

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\frac{d}{dx} \cosh kx = (\sinh kx) \cdot \frac{d}{dx}(kx) = k \sinh kx

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(3) $\tanh kx$ の導関数

$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$ です。したがって、

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\tanh kx = \frac{\sinh kx}{\cosh kx}

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商の微分公式を使うと、

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\frac{d}{dx} \tanh kx = \frac{d}{dx} \frac{\sinh kx}{\cosh kx} = \frac{(\cosh kx) \frac{d}{dx} (\sinh kx) - (\sinh kx) \frac{d}{dx} (\cosh kx)}{(\cosh kx)^2}

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(1)と(2)の結果より、

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\frac{d}{dx} \tanh kx = \frac{(\cosh kx)(k \cosh kx) - (\sinh kx)(k \sinh kx)}{(\cosh kx)^2}

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= \frac{k(\cosh^2 kx - \sinh^2 kx)}{\cosh^2 kx}

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$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ なので、

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\frac{d}{dx} \tanh kx = \frac{k}{\cosh^2 kx}

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ここで、$1/\cosh^2 x = \operatorname{sech}^2 x$ であることを用いると、

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\frac{d}{dx} \tanh kx = k \operatorname{sech}^2 kx

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3. 最終的な答え

(1) $\frac{d}{dx} \sinh kx = k \cosh kx$

(2) $\frac{d}{dx} \cosh kx = k \sinh kx$

(3) $\frac{d}{dx} \tanh kx = k \operatorname{sech}^2 kx$