次の関数の導関数を求めます。 (1) $y = \frac{x}{\log x}$ (2) $y = \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ (3) $y = \log(1+\tanh x)$

1. 問題の内容

次の関数の導関数を求めます。

(1) $y = \frac{x}{\log x}$

(2) $y = \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

(3) $y = \log(1+\tanh x)$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{x}{\log x}$ の導関数を求めます。

商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = x$, $v = \log x$ とすると、$u' = 1$, $v' = \frac{1}{x}$ です。

よって、

$y' = \frac{1 \cdot \log x - x \cdot \frac{1}{x}}{(\log x)^2} = \frac{\log x - 1}{(\log x)^2}$

(2) $y = \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ の導関数を求めます。

合成関数の微分公式 $\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$ と、$\frac{d}{dx} \tan^{-1}x = \frac{1}{1+x^2}$ を用います。

$u = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ とおくと、$y = \tan^{-1} u$ であり、$y' = \frac{1}{1+u^2} \cdot u'$ となります。

まず、$u' = \frac{d}{dx} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ を計算します。商の微分公式を用いると、

$u' = \frac{1 \cdot \sqrt{1+x^2} - x \cdot \frac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}(2x)}{1+x^2} = \frac{\sqrt{1+x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} = \frac{1+x^2-x^2}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}$

次に、$\frac{1}{1+u^2}$ を計算します。

$\frac{1}{1+u^2} = \frac{1}{1 + (\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})^2} = \frac{1}{1 + \frac{x^2}{1+x^2}} = \frac{1}{\frac{1+x^2+x^2}{1+x^2}} = \frac{1+x^2}{1+2x^2}$

したがって、$y' = \frac{1+x^2}{1+2x^2} \cdot \frac{1}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}(1+2x^2)}$.　

しかし、$\tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \sin^{-1} x$ より、$y' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

$x = \tan \theta$と置換すると、$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \sin \theta$となるので、$y = \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \theta$.

$x = \tan \theta$なので、$\tan^{-1} x = \theta$, $x= \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ である。

$y' = \frac{d}{dx} \theta = \frac{d \theta}{dx}$.

$\frac{dx}{d\theta} = \sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta = 1 + x^2$

$y' = \frac{d \theta}{dx} = \frac{1}{1+x^2}$

(3) $y = \log(1+\tanh x)$ の導関数を求めます。

合成関数の微分公式 $\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$ と、$\frac{d}{dx} \log x = \frac{1}{x}$ および $\frac{d}{dx} \tanh x = \frac{1}{\cosh^2 x}$ を用います。

$u = 1 + \tanh x$ とおくと、$y = \log u$ であり、$y' = \frac{1}{u} \cdot u'$ となります。

まず、$u' = \frac{d}{dx} (1+\tanh x) = \frac{1}{\cosh^2 x}$ を計算します。

次に、$\frac{1}{u} = \frac{1}{1+\tanh x}$ を計算します。

したがって、$y' = \frac{1}{1+\tanh x} \cdot \frac{1}{\cosh^2 x} = \frac{1}{\cosh^2 x (1+\tanh x)} = \frac{1}{\cosh^2 x + \cosh^2 x \tanh x} = \frac{1}{\cosh^2 x + \cosh x \sinh x}$

$y' = \frac{1}{\cosh^2 x + \cosh x \sinh x}= \frac{1}{\frac{1}{4} (e^x + e^{-x})^2 + \frac{1}{4} (e^x + e^{-x})(e^x - e^{-x})}= \frac{4}{e^{2x} + 2 + e^{-2x} + e^{2x} - e^{-2x}}=\frac{4}{2e^{2x} + 2} = \frac{2}{e^{2x} + 1}=\frac{2e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}=\frac{e^{-x}}{\cosh x}$.

$\frac{d}{dx} \log (1+\tanh x) = \frac{\frac{1}{\cosh^2 x}}{1+\tanh x}=\frac{1}{\cosh^2 x + \sinh x \cosh x} = \frac{1}{\cosh x (\cosh x + \sinh x)}= \frac{1}{\cosh x e^{x}}=\frac{2}{e^{-x} e^{x} + e^{2x} e^{-x}}=2e^{-x}$.

したがって、$(\log (1 + \tanh x))' = \frac{1}{1+\tanh x} \cdot (1 + \tanh x)'= \frac{1}{1+ \tanh x}(1-\tanh^2 x)=\frac{(1- \tanh x)(1+ \tanh x)}{1+\tanh x}= 1-\tanh x = \frac{\cosh x- \sinh x}{\cosh x} = \frac{e^{-x}}{\frac{e^x + e^{-x}}{2}}=2e^{-x}$.

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{\log x - 1}{(\log x)^2}$

(2) $y' = \frac{1}{1+x^2}$

(3) $y' = 2e^{-x}$